数学建模_插值与拟合总结.pdf

第九章 插值与拟合 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义 下它在这些点上的总偏差最小。 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二 者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时 容易确定，有时则并不明显。 §1 插值方法 下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插 值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数f (x ) 在 区间[a,b] 上n +1个不同点x ,x ,L,x 处的函数值y f (x ) (i 0,1,L,n) ，求一个 0 1 n i i 至多n 次多项式 ϕ (x ) a +a x +L+a x n （1） n 0 1 n 使其在给定点处与f (x ) 同值，即满足插值条件 ϕ (x ) f (x ) y (i 0,1,L,n) （2 ） n i i i ϕ (x ) 称为插值多项式，x (i 0,1,L,n) 称为插值节点，简称节点，[a,b] 称为插值区 n i 间。从几何上看，n 次多项式插值就是过n +1个点(x ,f (x )) (i 0,1,L,n) ，作一条 i i 多项式曲线y ϕ (x ) 近似曲线 y f (x ) 。 n n 次多项式（1）有n +1个待定系数，由插值条件（2 ）恰好给出n +1个方程 ⎧ + + 2 + + n a a x a x L a x y ⎪0 1 0 2 0 n 0 0 2 n + + + + a a x a x L a x y ⎪0 1 1 2 1 n 1 1 ⎨ （3 ） ⎪LLLLLLLLLLLL ⎪ 2 n + + + + a a x a x L a x y ⎩0 1 n 2 n n n n 记此方程组的系数矩阵为 A ，则 1 x x 2 L x n 0 0 0 1 x x 2 L x n det(A) 1 1