电磁学计算题资料.docx

计 算 题1、一半径为R的半圆细环上均匀地分布正电荷Q，求环心处的电场强度。解：在弧线上取线元dl，其带电量，可视为点电荷。因圆环上电荷对Y轴呈对称分布，电场分布也是轴对称的。则有：　　　　统一积分变量后，有：　　　方向沿Y轴负方向。2.如图，用一均匀带电的玻璃细棒，弯成直径为2米的圆弧，两端空隙米，电量库仑。求圆心O处电场强度。解：看作一个带负电圆环和一带正电的长为的圆弧在O处产生的场强之和，而带电环在O处的场强为零。∵＜＜R可视为点电荷，设其电量为，则：库∴（伏/米）3. 一半径为R的带电球，其电荷体密度为，为一常量，r为空间某点至球心的距离。试求：（1）球内外的场强分布。（2）r为多大时，场强最大？该点的场强Emax=?解：由高斯定理，选择半径为r的球面为高斯面（1）则时，时，由得处E最大，且沿轴放置一端在原点（x=0）的长为L的细棒，每单位长度的电荷分布为λ=kx，k为常数，取无限远处电位为零，求y轴上点P（0，y）的电位。解：由点电荷电位公式及叠加原理：5、一长为L的圆柱形电容器，半径分别为R1和R2，两导体间充满相对介电常数为的均匀电介质，沿轴线放一单位长度上带有正的自由电荷的直导线。设LR2，试求：(1) 介质中的、及两导体间的电势差。 (2) 电容器单位长度的电容。解：（1）介质中的、及两导体间的电势差：因为电荷分布具有轴对称性，因此电场也具有轴对称性。由介质中的高斯定理得：；方向沿矢径方向由电势的定义（2）由电容的定义C=Q/U，电容器单位长度的电容：6、球形电容器由内半径为的导体球和外半径为（）的导体球壳组成，电容器内部充满均匀电介质，其绝对介电常数为；设内球带电，外球带电，求：（1）两球面之间距圆心为处的电场强度的大小；（2）此球形电容器的电容。（3）此球形电容器的静电能。解：（1）使用高斯定理求解，需要作文字说明（电场的分布，高斯面的选择）或者用文字说明方向。（2）使用定义式求电容，所以：。（3）电容器的静电能为7、图中：＝20V，ro＝1，R1＝6，r1＝1，R2＝4，r2＝1，R3＝2，Io＝1A，I2＝2A。求：、、Uab。解：设、方向如图，则；，=18（V）=7（V）8、两个电源向负载供电，忽略电源内阻，如图所示，求各支路上的电流。解：设各支路电流分别为对于节点对于回路，联立求解得：9、两同轴铜质圆柱套管，长为L，内圆柱的半径为a，外圆柱半径为b，两圆柱间充以电阻率为ρ的石墨，如图所示，若从内圆筒作为一电极，外圆筒作为另一电极，求石墨的电阻。解法1：由欧姆定律可求电阻。由于铜的电阻率非常小，两个同轴铜管可以分别作为一个等势面，电流沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒。根据对称性，石墨中电流密度是轴距离r的函数，通过半径为r、长度L的圆拄的电流：根据稳恒电流的闭合性，通过各柱面的电流是相等的，由此得：两极间的电势差为：于是电阻为：解法2：由电阻定律可求电阻。当截面不均匀时有：所以内外筒间的电阻为：10．如图所示，半径为r=0.1米的圆环，由长为和2的两段导线组成，两段导线的截面积分别等于2S和S。如果从无限长直导线沿半径方向通到环上的电流为I=5安，求圆环中心处的磁感强度。（已知 0=410-7TM/A ）解：设上下两段的电流分别为I1，I2，电阻分别为R1，R2则，，，即；得；由毕奥-萨伐尔定律可得：上段导线在圆环中心处产生的磁感强度为： , 方向为垂直纸面向里； （3分）下段导线在圆环中心处产生的磁感强度为：，方向为垂直纸面向外。则圆环中心处的磁感强度11、在半径为R的无限长金属圆柱内部挖去一半径为r的无限长圆柱体 ,两柱体轴线平行 ,轴间距离a ,今在此空心导体上通以电流I ,电流沿截面均匀分布 ,求此导体空心部分轴线上任何一点的B。(题中各量均为国际单位)解：由迭加原理可知, 空心部分轴线上任一点O’的磁感应强度B等于半径为R的载流圆柱在O’点所产生的磁感应强度B1与通反向电流半径为r的圆柱在O’点产生的磁感应强度B2的矢量和: B = B1 +B2由安培环路定理求B1 , L为半径等于a的圆： = = 2a =B1 = B1的方向: 与I成右手螺旋关系求B2 : 以r为半径的小圆柱体以相同电流密度反向通过其上时, 由于对称性分析其在O’产生的B2 = 0所以: B = B1 + B2 = B112、电缆由一导体圆柱和一同轴导体圆筒构成 ,使用时电流Ｉ从一导体流去 ,从另一导体流回 ,电流都是均匀地分布在横截面上 ,设圆柱的半径为r1 ,圆筒的半径分别为r2和r3（见图）,求磁感应强度Ｂ的分布。解：⑴据安培环路定理，当r＞r3时，有：B·dl∴⑵当r2＜r＜r3时，据安培环路定理有：B·dl由于内圆柱与外圆筒电流流向相反，故：⑶当r1＜r