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（一）函数 1 凹（凸）函数 1.1 凸集 凸集（Convex Set ）：对于任意两点u ∈S 和v ∈S ，且对于每一个θ ∈[0,1] ，当且仅当 w θu =+(1 −θ)v ∈S 为真时，集合S ⊂Rn 为凸集。 凸集要求集合内的任意两点，其连线也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也 不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1.2 凹（凸）函数 引入凸集的概念后我们就可以介绍凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定 义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数 y =−x 2 +4x −4 就是一个凹函数，它在定义域内呈现的形状是一只倒立的碗；而函数 y x 2 =−4x +4 是一个凸函数，它在定义域内呈现的形状就像一只碗。 现在具体给出凹（凸）函数的定义（x 为自变量向量）： 对于函数f : D →R ，其定义域内任意两个不同的点x1 和x 2 ,当且仅当 1 2 1 2 tf (x ) +(1−t) f (x ) ≤ f (tx +(1−t)x ) ∀∈t (0,1) 时，函数f 为凹函数(Concave Function) 。 对于函数f : D →R ，其定义域内任意两个不同的点x1 和x 2 ,当且仅当 1 2 1 2 tf (x ) +(1−t) f (x ) ≥ f (tx +(1−t)x ) ∀∈t (0,1) 时，函数f 为凸函数(Convex Function) 。 如果f 为一元函数，我们能从图形上看，凸函数的定义是指该曲线上任何两点之间的连 线在曲线的上面，而凹函数则要求曲线上任何两点之间的连线在曲线的下面。如果是二元函 数，则把“曲线”改为“曲面”也可以感受它们的特征。 若将不等号“≤”和“≥”分别变换成严格不等号“”和“”，上述定义便成了严 格凹函数和严格凸函数的定义。 tx1 +(1 −t)x 2 因为凹函数的定义域为凸集，因此点 也一定在函数的定义域内。 我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。在满足无约束极 值一阶必要条件的前提下，凹函数一定存在全局最大值的解，但全局最大值的解可能不是唯 一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个。仅当我们限定它为严格凹 形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的。 1.3 凹（凸）函数与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。 根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能 有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或 1 曲面是如何弯曲的。 但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个 凸集。 定理 f (x) 是凹函数⇔A ≡ (x，y ) x ∈D , f (x) ≥y 是凸集； { } f (x) 是凸函数⇔A ≡ (x，y ) x ∈D , f (x) ≤y 是凸集。 { } 即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凹函数； 由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集⇔该函数为凸函数。 注意，这里的A 是关于点（x,y ）的集合。 1.4 用海塞矩阵判定凹（凸）函数 当函数为二阶连续可导时，我们还可以利用海塞矩阵判定它是否为凹（凸）函数。 定义 海 塞 矩 阵 ： 为 函 数 二 阶 导 数 和 交 叉 导 数 构 成 的 矩 阵 ， 如 ： ⎡f