有限元等参数单元.pdf

第六章 等参数单元的一般原理 和数值积分 由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状 不太规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复 杂的边界上，有时只能采用不规整单元；但是直 接研究这些不规整单元则比较困难，如何利用规 整单元（如三角形单元、矩形单元、正六面体单 元）的原理来研究（推导）所对应的不规整单元 的表达式？这将涉及到几何形状映射、等参变换 （坐标系变换）等问题。 6.1 平面等参单元4节点等参单元 （1）坐标系的映射及位移场模式 基准坐标系（ξ,η)中的单元 物理坐标系(x,y)中的单元 如图示情形，设有两个坐标系：基准坐标系（ξ, η）和物理 坐标系（x,y ） 其中基准坐标系（ξ, η）用于校准单元的描述 （如矩形单元、正六面体单元），而工程问题 中真实单元（往往其几何形状不太规整，但可 以映射为规整的几何形状）是在物理坐标系 中，可以看出，前面的几个单元研究都是基于 基准坐标系，现在我们希望基于基准坐标系上 的单元表达来推导物理坐标系中的单元表达。 设如图所示的两个坐标系的坐标映射关系为： x x (ξ,η) ⎫ ⎬ y y ( , ) ξ η ⎭ 下面针对图中的四节点四边形的坐标映射，给 出映射关系的具体表达式。 由基准坐标系（ξ, η）中的一点可以求出物理 坐标系（x,y ）中的一个对应点，如将图中所示 基准坐标系（ξ, η）中的矩形映射为物理坐标 系（x,y ）中的任意四边形，则有节点映射条 件： x x (ξ ,η ) ⎫ i i i i ⎬ i 1, 2,3,4 y y ( , ) ξ η i i i i ⎭ 这表明x方向和y方向各有四个节点条件，如果 我们用多项式来写出映射函数，则x方向和y方 向上可以写出各包含有四个待定系数的多项式 x a =+a ξ +a η+a ξη⎫ 0 1 2 3 ⎬ ξ η ξη y b0 =+b1 +b2 +b3 ⎭ 待定系数可由节点映射条件求出。因此可写出 其坐标变换式： x ξη, N ξη, x =+N ξη, x +N ξη, x +N ξη, x ⎫ ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 4 ⎪ ⎬ y ξη, N ξη, y =+N ξη, y +N ξη, y +N ξη, y ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 4 ⎭⎪ 根据前面四节点矩形单元的单元位移模式表达 式，它们完全相似，因此可写出其位移场模式： u x, y N ξη, ⋅u +N ξη, ⋅u +N ξη, ⋅u +N ξη, ⋅u ⎫ ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 3 (