《概率论与数理统计》第 2 章 一维随机变量及其分布.pptVIP

§2.4 连续型随机变量 2.3.1连续型随机变量及其密度函数 定义2.6对于随机变量X，如果存在非负可积函数 f(x)(-∞＜x＜+∞),对于任意的实数a,b(a＜b),都有 P{a＜X≤b}= f(x)dx (2-7) 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.有时也可用其他函数符号如p(x)等表示. 如果f(x)是随机变量X的密度函数，则必有如下性质： (1)f(x)≥0(-∞＜x＜+∞) (2) f(x)dx=P{-∞＜X＜+∞}=1 如果给出了随机变量的概率密度，那么它在任何区间取值的概率就等于概率密度在这个区间上的定积分.在直角坐标系中画出的密度函数的图像，称为密度曲线.如图2-2所示，密度曲线位于x轴的上方，且密度曲线与x轴之间的面积恒为1；X落在任一区间(a,b)内取值的概率等于以该区间为底，以密度曲线为顶的曲边梯形的面积. 由式(2-7)及概率的性质可以推出P{X=a}=0(a为任一常数)，即连续型随机变量在某一点取值的概率为零，从而有 P{a＜X＜b}=P{a＜X≤b}=P{a≤X＜b} =P{a≤X≤b} = 即区间端点对求连续型随机变量的概率没有影响. 概率密度f(x)不表示随机变量X取值为x的概率，而是表示随机变量X在点x附近取值的密集程度，就像线密度一样，某一点的线密度并不代表物质在这一点的质量. 【例1】设某连续型随机变量的概率密度为 0＜x＜2 求：(1)常数k; (2) P{1＜X＜2}; (3)P{X＞1}. 【解】(1) 根据密度函数性质有 解得k=3/8 (2) (3) 【例2】设连续型随机变量X的分布函数为 试求:(1) 系数A,B;(2) P{-1≤X≤2}; (3) X的概率密度f(x). 【解】(1) 由分布函数的性质,有 又因为连续型随机变量的分布函数是连续函数,从而应有 2.3.2几种常用的连续型随机变量的分布 1. 均匀分布 如果连续型随机变量X的概率密度为 (2-8) (其中a＜b为有限数),则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X~U[a,b]. 容易验证:f(x)满足概率密度的两条性质.由连续型随机变量的定义,可以求得X的分布函数为 f(x)与F(x)的图形如图2-2所示. 图2-2 易见,对于在区间[a,b]上均匀分布的随机变量,X落在任一长度为l的子区间(c,d)(a≤c＜d≤b)上的概率为 该概率与子区间的长度成正比,而与子区间的起始点无关. 【例3】设某一时间段内的任意时刻,乘客到达公共汽车站是等可能的.若每隔3min来一趟车,则乘客等车时间X服从均匀分布.试求X的概率密度及等车时间不超过2min的概率. 【解】因为X~U［0,3］,所以X的密度函数为 等车时间不超过2min的概率为 2. 指数分布 如果连续型随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为λ的指数分布,记作X~E(λ). 【例4】已知某种机器无故障工作时间X(单位：小时)服从参数为12000的指数分布.(1) 试求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率；(2)如果某机器已经无故障工作了500小时，试求该机器能继续无故障工作1000小时的概率. 【解】 3. 正态分布 如果连续型随机变量X的概率密度函数为 其中σ＞0为常数，则称X服从以μ,σ2为参数的正态分布，记作X~N(μ,σ2). 特别地，当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，并分别以(x)及Φ(x)记标准正态分布的密度函数和分布函数. 正态密度函数f(x)的图形(见图2-3)具有以下特点： (1) 以直线x=μ为对称轴，并在x=μ处有最大值f(μ)= (2) 在x=μ±σ处各有一个拐点； (3) 当x→±∞时，以x轴为渐近线； 图2-3 (4) 当固定σ而变动μ时，图形形状不变地沿x轴平行移动(见图2-4