本科 公共基础课 概率论与数理统计 第四章.pptVIP

第四章 随机变量的数字特征 §1 数学期望与方差 §2 协方差、相关系数与矩 1、数学期望定义 (1) 离散型 (2)、连续型 2、随机变量函数的数学期望 定理 1： 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数， （1）若 X 的分布率为 且 绝对收敛, 则 EY= 定理 2： 3、数学期望的性质 若x , y独立，则 EXY=EXEY 4 方差 I)定义 II)方差的性质 证： ) ( ) ( 2 2 2 EY Y EX X abE DY b DX a - - + + = DY b DX a 2 2 + = 若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故： 注： 令， 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。 几种重要随机变量的数学期望及方差 方法1： 2. 二项分布 1.两点分布 方法2： 4.均匀分布 在上一节用切比晓夫不等式估计概率有： §2.协方差及相关系数 1、定义 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0,　 E(Y-EY)=0 所以　E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. 　 为随机变量X,Y的相关系数。 2、协方差的性质 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。 D(aX+bY)= 3、相关系数的性质 证明： 令： 2 矩 1、定义 例1