本科 公共基础课 概率论与数理统计 第一章.pptVIP

§3 条件概率与乘法原理 一、条件概率 条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 例 设一幅54张的朴克牌,从中任取一张,设A={抽到方块},B={抽到K}求下列概率:P(A),P(B),P(AB),P(A|B),P(B|A). 条 件 概 率 设A、B是某随机试验中的两个事件，且 则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的 概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率 ，简称为B在A之下的条件概率，记为 称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。 设A、B是某随机试验中的两个事件，且 则 条件概率的性质： 两个事件的乘法公式 由条件概率的计算公式 我们得 这就是两个事件的乘法公式． 多个事件的乘法公式 则有 这就是n个事件的乘法公式． 例 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率． 解： 全概率公式和贝叶斯公式 S A1 A2 An …... BA1 BA2 …... BAn 定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。 全 概 率 公 式： 设随机事件 满足： 全概率公式的证明 由条件： 得 而且由 A1 A2 An …... BA1 BA2 …... BAn S 全概率公式的证明（续） 所以由概率的可列可加性，得 代入公式（1），得 全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 则我们可用全概率公式计算结果发生的概率． 例 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解： 由全概率公式，有 Bayes 公 式 设随机事件 满足 则 Bayes公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式 例 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 S B1 B2 B3 A 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。 解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”, 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 × 0.15 2 0.01 × 0.80 3 0.03 × 0.05 元件制造厂 1 0.02 × 0.15 2 0.01 × 0.80