高等数学（工科类）第七章 常微分方程.pptVIP

定理2（齐次线性方程通解的结构） 如果函数 是方程 的两个线性无关的特解，（即 ≠常 数） 则方程 通解为 （其中C1,C2为任意常数） 设y*是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解, Y是对应的齐次方程 的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次方程 的通解. 定理3 (非齐次线性方程通解的结构) 设二阶常系数非齐次线性方程 的右端f(x)是几个函数之和，如 而 分别是方程 与 的特解，则 是微分方程 的特解. 定理4 (线性非齐次方程解的叠加性) 设二阶常系数齐次线性微分方程为 y″+py′+qy=0 (8-19) 由于方程左端是未知函数y及y′，y″的线性代数和，所以函数y必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入左端整理后才可能为零. 因此，我们猜测y=erx可能是方程的解， 其中常数r需要待定，它表示了该解的特征. 将y=erx，y′=rerx，y″=r2erx代入方程(8-19)中， 得 (r2+pr+q)erx=0， 由于erx≠0，所以 r2+pr+q=0 (8-23) 若函数y=erx是方程(8-19)的解，则r必须满足方程 (8-23)，称方程(8-23)为微分方程 的特征方程. 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 (1)特征方程有两个不相等的实根r1，r2.这时，微分方程 有两个线性无关的特解， 因此，通解为 特征方程(8-23)是一元二次代数方程，它相当于由微分方程 中y换成r，导数的阶数换成次数(y理解为y的零阶导数)而得到.在复数域内它的根有下面三种情形. 由r1是特征方程相等的实根，有 即2r1+p=0，从而u″(x)=0. 不妨取u(x)=x，于是 因此，微分方程 的通解为 (2) 特征方程有两个相等的实根r1=r2.这时，只能得到微分方程的一个特解y1= ，为了求另一个与y1线性无关的特解y2及y2′，y2″代入微分方程 中， 得 (3) 特征方程有一对共轭复根 这时，微分方程 有两个线性无关的复数形式的特解 为了在实数范围讨论问题，由 令 则得到微分方程 的两个线性无关的实数形式的特解 因此，微分方程 的通解为 式中，C1，C2为任意常数. 【例1】求微分方程y″-y′-2y=0的通解. 【解】微分方程的特征方程为 r2-r-2=0， 即 (r+1)(r-2)=0， 其根为r1=-1，r2=2，故通解为 【例2】求微分方程y″+4y′+4y=0满足初始条件y(0)=1，y′(0)=1的特解. 【解】微分方程的特征方程为 r2+4r+4=0， 即 (r+2)2=0 其根为r1=r2=-2，故微分方程的通解为 由初始条件y(0)=1，得C1=1，从而 又由 且初始条件y′(0)=1，得C2=3， 故所求的特解为 y=(1+3x)e-2x. 【例3】求微分方程y″-4y′+5y=0的通解. 【解】微分方程的特征方程为 r2-4r+5=0 它的根为一对共轭复根 故微分方程的通解为 根据二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构(定理3)，可知其通解是对应的齐次方程的通解与它本身的一个特解之和，而对应的齐次方程的通解求法已经讨论过.因此，我们只需讨论二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法. 设微