高等数学（工科类）第六章 多元函数微积分.pptVIP

D 解二 D Y—型 例3 计算 D 解一 D： X—型 解 D Y—型 I = 若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。 2 1 2 1 例4 计算 由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。 例5 计算 解 D是X—型区域 要分部积分，不易计算 若先 x 后 y 则须分片 易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。 D 2.利用极坐标系计算二重积分 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 极点在区域之外 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图（极点在D的边界上） 注意内下限未必全为0 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 （极点在D的内部） 极坐标系下区域的面积 解 解 解 * * * * * * 【例3】 多元函数的极值 定义 设函数 在点 的 某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 的点 ：如果都适合不等式 则称函数在点 有极大值 ；如 果都适合不等式 第六节 多元函数的极值与最值 则称函数在点 有极小值 .极大 值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称 为极值点. 以上关于二元函数的极值概念，可推广到n 元函数.设n元函数 在点 的某一邻 域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任 何点 都不适合不等式 则称函数 在点 有极大值(极小值) . 定理1(必要条件) 设函数 在 点 具有偏导数，且在点 处有极 值，则它在该点的偏导数必然为零： 证 不妨设 在点 处 有极大值.依极大值的定义，在 的某邻 域内异于 的点 都适合不等式 特殊地，该邻域内取 而 的点，也 应合适不等式 这表明一元函数 在 处取得极大 值，因而必有 类似地可证 如果三元函数 在点 具有偏导数，则它在点 具有极值的 必要条件为 点 的某邻域内连续且具有 一阶及二阶 连续偏导数，又 ， 令 则 在 处是否取得极值的条件如 下： (1) 时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值； (2) 时没有极值； (3) 时可能有极值，也可能没 定理2(充分条件) 设函数 在 有极值，还需另作讨论. 二阶连续偏导数的函数 的极值 的求法叙述如下： 第一步 解方程组 求得一切实数解，即可求得一切驻点. 第二步 对于每一个驻点 ，求出 二阶偏导数的值 和 . 第三步 定出 的符号，按定理2的 结论判定 是否是极值、是极大值还是极 小值. 【例1】 【解】先求函数的驻点和使偏导数不存在的点，由方程组 解得两个驻点（0，0）和（1，1），且没有使偏导数不存在的点. 再由二阶偏导数值判定： 由 在点（0，0）处，A=0，B=-3，C=0， 由于Δ=B2-AC=9＞0,所以驻点（0，0）不是极值点，即函数在点（0，0）处无极值.在点（1，1）处，由于A=6＞0，B=-3，C=6，Δ=B2-AC=-27＜0,所以驻点（1，1）为函数的极小值点，且极小值为f(1,1)=-1. 条件极值 拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题，对于函数的自变 量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他 条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问 题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条 件的极值问题. 例如，求表面积为 而体积为最大的长方 体的体积问题.设长方体的三棱的长为 还必须满足附加条件 .象这 种对自变量有附加条件的极值称