高等数学（工科类）第四章 不定积分.pptVIP

例8　求∫arcsinxdx arcsinx 　 1 求导↓ + ↓积分 　　　- x 例9 1 求导↓ ↓积分 x 例10 求∫exsin3xdx 解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx ＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx 移项得 ∫exsin3xdx＝ ex(si3nx－3cos3x)＋C 高等数学（工科类） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? 定义1 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。 第一节 不定积分的概念与性质 例1 求下列函数的一个原函数： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)＝2x ∴x2是函数2x的一个原函数 ⑵∵(sinx)＝cosx ∴sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。 例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)＝2x， (x2－1)＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。 定理 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]＝F(x)＋(C)＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 定义2 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx， 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常数，叫做积分常数。 例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一个原函数 ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一个原函数 ∴ 二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x， 故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。 三、 不定积分的基本公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式 四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差 说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数 的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。 [注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋