高等数学（工科类）第三章 中值定理与导数的应用.pptVIP

例 1 讨论曲线y=x4－2x3+1的凹凸性并求其拐点. 解: 函数的定义域为(－∞,+∞)，一、二阶导数为 y′=4x3－6x2, y″=12x2－12x=12x(x－1). 令 y″=0, 解得x1=0, x2=1，它们把定义域分为三 个部分：(－∞,0),(0,1),(1,+∞). 在(－∞,0)内, y″＞0，y=x4－2x3+1 下凸； 在(0,1)内，y″＜0, y=x4－2x3+1 下凹； 在(1,+∞)内，y″＞0,y=x4－2x3+1 下凸. 当x=0时，y=1,点(0,1)是曲线的拐点.x=1时， y=0,点(1，0)也是曲线的拐点. 例 2 求曲线 的拐点. 解 : 函数y = 在(－∞,+∞)内连续，当x≠0时 当x =0 时，y′,y″都不存在.二阶导数y″在(－∞, +∞)内没有零点， 在x=0处不连续.但x=0把(－∞,+∞)分成两个区间(－∞,0)和(0，+∞)，在(－∞,0)内y″＞0,曲线下凸，在(0，+∞)内y″＜0,曲线下凹.当x=0时，y=0,故(0，0)是曲线的一个拐点. 一、描绘函数图形的一般步骤 我们给出利用导数和极限描绘函数图形的一般 方法和步骤，该方法本质上仍是描点作图. (1)求出函数y =f (x)的定义域，确定图形的范围； (2)讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性； (3)讨论渐近线，确定图形的变化趋势； 第七节 函数图形的描绘 (4)计算函数的一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)； (5)求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间； (6)列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凸凹性、极值点和拐点； (7)求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等， 有时还要求出一些辅助点上的函数值，然后根据 (8)中的表格描点绘图. 例1 作函数 的图形. 解 : 函数 的定义域是(－∞,+∞)，该函数是偶函数,可先作出函数在［0,+∞）的图形.又 ,故y=0是水平渐近线. 令y′=0,得驻点x1=0, 令y″=0得点 根据上述结果，列表讨论曲线的升降，凹凸、 极值点和拐点等. 表1 再令x=1,f (1)=e－1≈0.37,得辅助点(1，0.37). 根据以上讨论，先作出函数在y轴之右的图形，再利用对称性，即得曲线图形如下图 例2 作出函数 的图形. 解:函数的定义域是(－∞,1)∪(1,+∞).由例3.4.3，函数有竖直渐近线x=1及斜渐近线 又 令 y′=0得驻点x1=－1,x2=3. 但当x=1时，y′,y″不存在. x1=－1,x2=3及不可导点x=1将定义域分成四个子区间， (－∞,－1),(－1,1),(1,3),(3,+∞),列表讨论. 表2 补充辅助点 ,描点绘图如下： 极小 - 0 （0，1） 1 - 0 - - 0 + + 0 - 0 + + + 拐点 (0,0) 拐点 (1,-1) 二、曲线的渐近线. 为了比较准确地描绘曲线在平面上无限伸展的 趋势，应对曲线的渐近线进行讨论.例如双曲线 当自变量x无限趋近于0时，第一象限的一支无限向上延伸，同时无限靠近y 轴，而第三象限的另一支曲线则无限向下延伸，同时也无限靠近y 轴；当x无限远离原点时，两支曲线 分别沿x轴的两个方向 无限延伸，同时无限靠近x轴.因此，对曲线 来说，我们可以借助y轴(直线x =0)和x轴(直线y =0) 来研究它无限伸展的趋势.这样的直线就是所谓的 曲线的渐近线. 图 定义 如果动点M沿曲线y =f (x)无限远离 坐标原点时，M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L是曲线y =f (x)的一条渐近线.并且 若 ,则称直线y =A是曲线的水平 渐近线； 若 ，则称直线x = a是曲线的竖直渐近线或垂直渐近线; 若 ,则称直线y = ax+b是曲线的斜渐近线. 或 且 例3 求曲线 的渐近线 . 解: 由于 ，所以x=1是曲线的竖直渐近线； 又 故 是曲线的斜渐近线. 该曲线没有水平渐近线. * 证 应用拉氏定理,得 这个定理说明了可以利用导数的符号来判定