高等数学（工科类）第十章 线性代数.pptVIP

当 l = 0 时， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解． 当 l = －3 时， R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为 定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 分析：因为对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况． 定理：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件 是 R(A) n ． 定理：线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ． 定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ． 定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ． 证明：设 A 是 m×n 矩阵， B 是 m×l 矩阵， X 是 n×l 矩阵. 把 X 和 B 按列分块，记作 X = ( x1, x2, …, xl ) ，B = ( b1, b2, …, bl ) 则 即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ) 设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为 ，则 有 r 个非零行， 且 的后 m－r 行全是零． 再设 从而 ． 矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ) 的后 m－r 个元素全是零 的后 m－r 行全是零 R(A) = R(A, B) ． 定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ． 定理：设 AB = C ，则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) ． R(C) ≤ R(A, C) ，故 R(C) ≤ R(A) ． 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) ≤ R(B) ． 综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 非齐次线性方程组 无解 否 是 无限多个解 否 是 唯一解 包含 n-R(A) 个自由变量 的通解 一、 齐次线性方程组的解的结构 性质1：若 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ． 结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解. 第五节 线性方程组解的结构 结论：若 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解. 已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解． 能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表示出来？ 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0