高等数学教学课件 第二章 极限与连续.pptVIP

第五节 两个重要极限 第六节 函数的连续性 在许多实际问题中，数量的变化往往是连续的.例如，气温随时间的变化而变化着，当时间的变化极为微小时，气温的变化也极为微小，这就是说，气温是连续变化的.下面我们来研究函数的连续性. 一、函数的增量 定义 设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫做自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx. 这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx. 相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0) 叫做函数的增量(或改变量)，记作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 第七节 连续函数的性质 三、初等函数的连续性 根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及连续函数的和、差、积、商的连续性和复合函数的连续性可得到下面的重要结论： 性质3一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 这个结论对于以后判定函数连续性及一些极限的运算是非常有价值的，如果已知函数f(x)是初等函数，且x0属于f(x)的定义区间，那么求limx→x0f(x)时，只需将x0代入函数，求函数值f(x0)即可. 第二章 极限与连续 数列的极限 第一节 函数的极限 第二节 无穷小与无穷大 第三节 函数极限的运算法则 第四节 两个重要极限 第五节 函数的连续性 第六节 连续函数的性质 第七节 第一节 数列的极限 一、数列极限的定义 以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.我们先看一个实例：一个篮球从距地面1米高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后篮球又反弹到前一次高度的12处(见图2-1).于是，可得到表示篮球高度的一个数列 第二节 函数的极限 在上一节中我们学习了数列的极限及其运算法则.由于数列{an}可以看作是n(n∈N*)的函数an=f(n)，因此，数列的极限也可以看作是函数极限的特殊情形.下面我们来讨论一般函数y=f(x)的极限. 一、当x→∞时函数f(x)的极限 定义 如果当x→∞时,函数f(x)无限趋近于确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作limn→∞f(x)=A或当x→∞时,f(x)→A. 这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，同时也取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况. 下面给出当x→+∞或x→-∞时函数极限的定义. 定义 如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作limx→+∞f(x)=A，或当x→+∞时，f(x)→A.(limx→-∞f(x)=A，或当x→-∞时，f(x)→A) 二、当x→x0时函数f(x)的极限 定义 设函数y=f(x)在x0的某空心邻域（邻域就是在数轴上满足{x||x-x0|＜δ}，其δ＞0的点的集合.即区间(x0-δ，x0+δ)内的一切实数.x0称邻域的中心，δ为半径.如果这个区间不含x0点，则称x0的空心δ邻域).内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作：limx→x0f(x)=A， 或当x→x0时，f(x)→A. 第三节 无穷小与无穷大 在研究函数的变化趋势时，我们发现某些函数的绝对值趋于无穷：一是函数的绝对值“无限变小”，二是函数的绝对值“无限变大”.下面我们来研究这两种情形. 一、无穷小 定义 如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小. 例如，当x→0时，sinx是无穷小；当x→∞时，1/x是无穷小. (1) 无穷小和绝对值很小的数是截然不同的，例如10^-10，10^-100都是很小的数，但不是无穷小.只有零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为limx→x0(x→∞)0=0. (2) 无穷小和自变量的变化趋势是密切相关的.例如函数f(x)=1/x，当x→∞时，1x为无穷小；当x→1时，1/x就不是无穷小. 二、无穷大 定义 如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大.如果按函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数