高等数学教学课件 第三章 导数与微分.pptVIP

第四节 相关变化率 在实际问题中,有时遇到参与变化的几个变量都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系,从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系,以便从其中已知的变化率求出未知的变化率,下面举几个例子加以说明. 第五节 函数的微分 一、微分的概念 在实际生产实践中,有时需要考虑这样的问题:当自变量有一微小的增量时,函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片,当受冷热影响时,其边长由x0变到(x0+Δx),问此时薄片的面积的改变量是多少? 设正方形薄片的边长为x0,面积为y,则上面问题就是求函数y=x^2当自变量由x0变到(x0+Δx)时函数y的改变量Δy,也就是面积的改变量. Δy=(x0+Δx)^2-x0^2=2x0·Δx+(Δx)^2. 第三章 导数与微分 导数的概念 第一节 求导法则 第二节 高阶导数 第三节 相关变化率 第四节 函数的微分 第五节 第一节 导数的概念 一、导数概念的两个引例 为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题. 1. 变速直线运动的瞬时速度 我们知道在物理学中，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得 2. 切线问题 设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫做曲线在点M处的切线，如图3-1所示. 已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx 以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义. 二、导数的定义 定义1 设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 第二节 求导法则 上一节我们由定义出发，求出了一些简单函数的导数,对于一般函数的导数,当然也可以按定义来求,但比较繁琐.本节引入一些求导法则,采用这些求导法则,可以迅速准确地求出函数的导数. 一、函数和、差、积、商的导数 三、隐函数的导数 前面讨论函数求导方法所涉及的函数y已写成自变量x的明显表达式y=f(x)的形式，这样的函数叫做显函数.但有时候还会遇到另一类函数，是由一个含有x和y的方程F(x，y)=0来确定的函数y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，这样的函数叫做隐函数. 下面来讨论隐函数的求导问题.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是： (1) 将方程F(x，y)=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数； (2) 求导后，解出y′即可(式子中允许有y出现). 第三节 高阶导数