高等数学教学课件 第十章 多元函数微分学.pptVIP

第五节 偏导数在几何上的应用 第六节 多元函数的极值 一、多元函数的极值 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意点(x,y),有f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0)),则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值),而称(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点),函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点. 例如,函数z=f(x,y)=1+x^2+y^2在点(0,0)处取到极小值f(0,0)=1,而函数z=x^2+y^2在点(0,0)处取到极小值. 二、二元函数的最值 如果二元函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有最大值和最小值.但是，最大值和最小值可能在D的内部取得，也可能在D的边界上取得.因此，需要求出f(x,y)在D内部的所有驻点和使一阶偏导数不存在的点，如果这些点是有限个，将这些点的函数值与函数在D的边界上的最大值和最小值作比较，其中最大的就是二元函数f(x,y)的最大值，最小的就是f(x,y)的最小值，可见，求二元函数的最大值和最小值比一元函数复杂多了. 但是，如果根据实际问题知道二元函数在D的内部存在最大值（或最小值），同时函数的偏导数存在，且有唯一的一个驻点，则函数在驻点处必取得最大值（或最小值） 第十章 多元函数微分学 多元函数的基本概念 第一节 偏导数 第二节 全微分及其应用 第三节 多元复合函数和隐函数的求导法则 第四节 偏导数在几何上的应用 第五节 多元函数的极值 第六节 第一节 多元函数的基本概念 一、区域 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们把邻域和区间的概念加以推广. 1. 邻域 设P0（x0,y0）是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点P0距离小于δ的点P（x,y）的全体称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ）,即U(P0,δ)={P||PP0|＜δ}. 在几何上，U（P0，δ）就是xOy平面上以点P0为中心、δ＞0为半径的圆的内部的点P（x,y）的全体. 如果不需要强调邻域半径δ，则用U（P0）表示点P0的邻域.点P0的去心邻域记作U。（P0） 2. 区域 设D为一平面点集，若有点P的某邻域U（P）D,则称点P为点集D的内点，如图101所示. 若点集D的点都是内点，则称D为开集.例如，点集D={(x,y)|1＜x2+y2＜4}就是开集. 设D为一开集,若对D中的任意两点,都可以用完全落在D内的折线连接起来,则称D具有通性连通的开集称为区域或开区域.如点集{(x,y)|x+y＞0}及{（x,y）|1＜x2+y2＜4}都是区域.若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点（点P本身可以属于D，也可以不属于D），则称P为D的边界点（见图6-2).D的边界点的全体称为D的边界. 开区域与其边界的并集称为闭区域.例如，点集{(x,y)|1≤x2+y2≤4}是闭区域. 二、多元函数的概念 在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，例如：矩形面积S与它的长x、宽y之间具有关系S=xy.这里，当x,y在集合{（x,y）|x＞0,y＞0}内取定一对值（x,y）时，S的对应值就随之确定.又如圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=πr^2h.这里，当r,h在集合{(r,h)|r＞0,h＞0}内取定一对值（r,h）时，V的对应值就随之确定. 定义1 设D是xOy平面上的一个点集，若对D中的每一点P（x,y）,变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z为变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)(或z=f(P)). 点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量.数集M={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域. z是x,y的函数，有时也记为z=z(x,y). 类似地，可定义三元函数u=f(x,y,z)及三元以上函数.二元及二元以上函数统称为多元函数. 如何求二元函数的定义域呢？类似于一元函数.一般可分为三种类型.第一种，若函数是用单纯的数学解析式表示的，则定义域就是使解析式有意义的自变量所确定的平面点集.第二种，对于实际问题，应根据实际问题的性质确定定义域.第三种，是定义函数时就指定的定义域. 三、二元函数的极限 类似于一元函数y=f(x)的极限，我们来讨论二元