高等数学教学课件 第四章 中值定理及导数的应用.pptVIP

第七节 函数图形的描绘 由函数的单调性、函数的极值、曲线的凹凸性可以描绘出函数的图形的基本性态.为了进一步了解函数图形的性态，更准确地描绘函数的图形，下面我们介绍曲线的渐近线. 一、曲线的渐近线 定义1 如果曲线y=f(x)的定义域是无限区间，且有limx→-∞f(x)=b或limx→+∞f(x)=b，则直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线;如果曲线y=f(x)有limx→x0+f(x)=∞，或limx→x0-f(x)=∞，则直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线. 例如函数y=1/x，因为limx→∞1/x=0，所以直线y=0为曲线y=1/x的水平渐近线;又因为limx→01/x=∞，所以直线x=0为曲线y=1/x的垂直渐近线. 二、描绘函数图形的一般步骤 根据前面所讨论的函数的各种性态，我们可以总结出描绘函数图形的一般步骤： (1) 确定函数的定义域，并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等; (2) 求f′(x)，f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定义域内的全部实根及一阶、二阶导数不存在的点; (3) 列表讨论f′(x)，f″(x)的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点; (4) 计算一些必要的辅助点; (5) 讨论曲线的渐近线; (6) 描出函数图像. 第四节 函数的极值及其求法 一、函数极值的定义 在图4-10中我们可以看出，函数y=f(x)在c1,c4的函数值f(c1),f(c4)比它们两旁各点的函数值都大,而在点c2,c5的函数值f(c2),f(c5)比它们两旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义. 定义 设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0∈(a,b).如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点. 二、函数极值的判定和求法 如图4-10所示，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但曲线上有水平切线的地方，函数却不一定取得极值.例如，在点c3处，曲线具有水平切线，这时f′(c3)=0，但f(c3)并不是极值.下面我们讨论函数取得极值的必要条件和充分条件. 定理1 设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x0)=0.使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点(又叫稳定点). 定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点，例如x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点. 既然函数的驻点不一定是它的极值点,那么,当我们求出函数的驻点后,怎样判别它们是否为极值点呢?如果是极值点,又怎样进一步判定是极大值点还是极小值点呢?为了解决这些问题,我们先借助图形来分析一下函数f(x)在点x0取得极值时,点x0左右两侧导数f′(x)的符号变化的情况. 如图4-11所示,函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少,有f′(x)＜0.对于函数在点x0取得极小值的情形,读者可结合图4-12类似地进行讨论. 定理2 (第一种充分条件)设函数f(x)在点x0及其近旁可导,且f′(x0)=0. (1) 如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f′(x)＞0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f′(x)＜0,那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0). (2) 如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f′(x)＜0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f′(x)＞0,那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0). (3) 如果在x0的两侧,函数的导数符号相同,那么函数f(x)在点x0处没有极值. 当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值. 定理3 (第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么 (1) f″(x0)＜0时,函数f(x)在x0处取得极大值; (2) f″(x0)＞0时,函数f(x)在x0处取得极小值. 根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导