高等数学教学课件 第五章 不定积分.pptVIP

第三节 分部积分法 通过前面内容的学习，利用基本积分法和换元积分法可以解决大量的不定积分计算问题，但是仍然有一些不定积分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定积分无法用上述方法求出，那么它们又是如何计算的呢？本节将要介绍另一种基本积分方法——分部积分法. 定理 设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得：d(uv)=udv+vdu或udv=d(uv)-vdu两边同时积分得∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu这个公式被称为分部积分公式. u，v的选择原则如下：1°由φ(x)dx=dv，求v比较容易；2°∫vdu比∫udv更容易计算. 分部积分法在选取u,v过程中，要始终选取同一类函数作为u，v. 第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 若Pn(x)和Qm(x)分别是n,m次多项式,则称R(x)=Pn(x)Qm(x)是有理分式.当n＜m时,R(x)是真分式;当n≥m时,R(x)是假分式.利用多项式的除法,总可以把假分式化成多项式与真分式的和.例如(x^5+1)/(x^3+x+1)=x^2-1-(x^2-x-2)/(x^3+x+1).多项式不难积分,因此,有理函数的不定积分只需讨论真分式的不定积分.据代数学基本定理,任一多项式都能在实数范围内分解为一次因式或二次质因式的乘积,任一真分式都能分解成以一次因式或二次质因式为分母的部分分式之和. 第五章 不定积分 不定积分的概念与性质 第一节 换元积分法 第二节 分部积分法 第三节 有理函数的不定积分 第四节 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 微分学研究如何从已知函数求出导函数,其逆问题是求一个未知函数,使其导函数恰好是某一个已知函数.例如,我们已知t时刻的速度v(t)是位移s(t)的导数,v(t)=dsdt;加速度a(t)是速度v(t)的导数,a(t)=dvdt.现在反过来,已知速度v(t),如何求位移s(t)?已知加速度a(t),如何求速度v(t)?又例如,我们已知曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线斜率k是f(x)在切点横坐标x处的导数,k=f′(x).反过来,如果已知某曲线在任意点M(x,y)处的切线斜率k(x),如何求出该曲线方程? 我们称这类由给定f′(x)求f(x)的运算为积分法. 正如加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法一样,积分法可以看作是微分法的逆运算. 定义1 设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数. 例如,由(x3)′=3x^2可知,x^3是3x^2在区间(-∞,+∞)上的原函数;由(sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函数;lnx是1/x在(0,+∞)上的原函数;运动方程s=1/2at^2(a＞0,a为常数)是速度v=at在某区间上的原函数,等等. 研究原函数,首先需要解决在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,原函数是否唯一?事实上,并不是每个函数都存在原函数,我们将在下一章中证明下述定理. 定理 若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在I上的原函数F(x)存在. 由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数. 设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x),那么,对任意常数C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数. 如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C. 上述表明,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念. 定义2 函数f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx，其中，记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量. 由定义2可知不定积分与原函数是整体