高等数学教学课件 第一章 函数.pptVIP

第一章 函数 函数的基本概念 第一节 函数的性质 第二节 反函数 第三节 初等函数 第四节 第一节 函数的基本概念 一、函数的定义 定义 设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则f总有确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域. 当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域. 在函数的定义中，如果对于每一个x∈D，都有唯一的y与它对应，那么这种函数称为单值函数，否则称为多值函数. 二、函数的表示法 1. 表格法 将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等. 2. 图像法 用图像表示两个变量的函数关系的方法.如图1-1所示. 3. 解析法 用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等. 下面我们介绍几种常用的解析法表示的函数. (1) 分段函数 三、函数的定义域 在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点： (1)分式的分母不能为零； (2)偶次根式的被开方数必须为非负数； (3)对数式中的真数必须大于零； (4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；(5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集； (6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集 第二节 函数的性质 一、奇偶性 定义 设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.奇函数的图像关于原点对称，如图1-4所示;偶函数的图像关于y轴对称，如图1-5所示. 二、单调性 定义 若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间. 单调增函数图像沿x轴正向上升，如图1-6所示；单调减函数图像沿x轴正向下降，如图1-7所示. 三、有界性 定义 设函数f(x)的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界，如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界，如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界. 第三节 反函数 定义 在函数的定义中，按关系式y=f(x)，x∈A，y∈B(1-1) x是自变量，y是因变量(函数).在关系式y=f(x)中，反过来，将y看成自变量，x看成因变量(函数)，即对每一个y∈B，按y=f(x)都有确定的x值与之对应，称x是y的反函数，即(1-1)的反函数，在求反函数的表达式时，可将(1-1)中的关系式y=f(x)看成一个方程式，从中将x解出，写作x=φ(y)，y∈B(1-2) 这就是反函数的表达式.习惯上自变量的记号取作x，故将(12)中x，y记号对换(对应关系不变)，得y=φ(x)，x∈B(1-3) 它仍是(1-1)的反函数.若将φ记为f-1，则(1-3)可写为y=f-1(x)，x∈B(1-4) 因此，(1-2)(1-3)与(1-4)都是(1-1)的反函数，只是用作表示的记号不同而已. 第四节 初等函数