高等数学教学课件-第八章 多元函数微分学.pptVIP

8.6 方向导数与梯度 偏导数反映的是函数沿坐标方向的瞬时变化率.但有些时候，像要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率时，就要用到求函数沿任一指定方向的变化率问题，即方向导数. 8.6.1方向导数 我们以日常常见的三元函数u=f（x，y，z）为例，给出它的定义： 定义8.10 设三元函数u=f（x，y，z）在点P0（x0，y0，z0）的一个邻域U（P0）R3中有定义，任意方向向量l的同向单位向量为e，记e={cos α，cos β，cos γ}，实数k是使得两点P0（x0，y0，z0）和Pk（x0+kcos α，y0+kcos β，z0+kcos γ）的连线段包含在邻域U（P0）内的任意正数.如果极限 8.7 多元函数的极值与最值 在实际问题中，我们时常会遇到求最大值或最小值的问题，而这些最值往往与极值有密切的联系.下面，我们仿照一元函数极值问题，并以二元函数为例来讨论多元函数极值和最值问题. 8.7.1多元函数的极值 定义8.12 设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域U（P0）内有定义，对该邻域内任意不同于P0点的P（x，y），都满足f（x，y）f（x0，y0）（或f（x，y）f（x0，y0））则称f（x0，y0）为函数的极大（或极小）值，称点P0（x0，y0）为极大（或极小）值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值；极大值点和极小值点统称为极值点. 例如，椭圆抛物面x2p+y2q=2z（p，q0）在点（0，0）处有极小值z=0，图8.13所示. 类似于一元函数，二元函数极值存在的必要条件是： 定理8.10（极值存在的必要条件）设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处取得极值，且在点P0（x0，y0）处两个偏导数存在，则有f′x（x0，y0）=0,f′y（x0，y0）=0 说明函数z=x^2+y^2在点（0，0）处的两个偏导数不存在，但根据极值定义知，该函数在点（0，0）处取得极小值z=0.有时，我们把偏导数不存在的点称为可能极值点.本书一般只讨论偏导数存在的情况.如果存在一点P0（x0，y0），使得f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0成立，则称点P0（x0，y0）是函数z=f（x，y）的驻点.像刚才例子x^2/p+y^2/q=2z中的点（0，0）就是函数的一个驻点. 那么，我们又如何来确定函数的极值呢？ 类似于一元函数，我们对二元函数可以通过分析它的二阶偏导数的方法来确定函数的极值，于是有定理8.11（极值存在的充分条件）设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域U（P0）内连续，且具有二阶连续的偏导数，又f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0（即P0（x0，y0）是函数的一个驻点），记A=f″xx（x0，y0），B=f″xy（x0，y0），C=f″yy（x0，y0），Δ=AC-B2，则（1）当Δ0时，函数z=f（x，y）有极值，且当A0时，f（x0，y0）是极小值；当A0时，f（x0，y0）是极大值；（2）当Δ0时，函数z=f（x，y）无极值；（3）当Δ=0时，函数z=f（x，y）可能有极值，也可能无极值. 此定理的证明从略. 8.4 多元复合函数的求导和隐函数的求导 8.5 偏导数在几何上的应用 其中数集D称为函数的定义域，t称为自变量，r称为因变量.一元向量值函数是普通一元函数的推广.向量值函数的自变量t仍然取实数值，但因变量r不再取实数值，而是取n维向量. 在本章中，为方便起见，我们只限讨论n=3时的三维向量.并将一元向量值函数简称为向量值函数，普通的实值函数称为数量函数.例如，在R3中，若向量值函数f（t），t∈D的三个分量分别取f1（t）、f2（t）、f3（t），t∈D，则向量值函数f就可以表示为f（t）=f1（t）i+f2（t）j+f3（t）k，t∈D，或f（t）={f1（t），f2（t），f3（t）}，t∈D. 如果向量r的起点取在坐标系的原点O处，终点在M处，即r=OM，如图8.10所示. 当t在定义域内取值时，向量r随着t发生变化，从而点M也发生变动.终点M的变化轨迹称为向量值函数r=f（t），t∈D的终端曲线，即曲线Γ.曲线Γ也称为向量值函数的图形或图像.由于向量值函数r=f（t），t∈D与空间曲线Γ是一一对应的，因此r=f（t）={f1（t），f2（t），f3（t）}，t∈D称为曲线Γ的向量方程. 根据