高等数学教学课件-第二章 函数的极限与连续.pptVIP

2.3 极限的运算法则 2.4 两个重要极限 通过上面三节的学习，我们知道了一些求极限的方法，如运用极限的定义和运算法则.除此之外，我们还经常遇到下面要讨论的两个重要极限.本节给出判定极限存在的两个准则，并依据它们给出两个重要极限. 2．4．1判定极限存在的两个准则 准则1（夹逼准则）如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： （1）从某项起，即n0∈N，当n＞n0时，有yn≤xn≤zn， （2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a， 那么数列{xn}的极限存在，且limn→∞xn=a. 准则2单调有界数列必有极限. 在本章2.1节中，我们已经看到有界数列不一定有极限，但准则2指出，单调且有界的数列必有极限. 2．4．2两个重要极限公式 2.5 函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，它反映了自然界中的许多现象，例如气温，物体运动的路程等都随着时间的改变而发生连续变化，当时间的改变量很小时，则该时刻气温的温度，物体运动的路程的改变量也很小.在数学上，我们就可以用函数的连续性来表达这一性质. 下面我们先给出变量的增量（或称改变量）的概念，再引入函数连续的概念. 设y=f（x）在x0的某个邻域内有定义，当自变量从x0变动到x时，称Δx=x-x0为自变量的增量（或改变量），对应函数值从f（x0）变动到f（x0+Δx），称Δy=f（x0+Δx）-f（x0）为函数的增量（或改变量）.变量的增量可以是正数、负数或零. 关于函数的左连续和右连续有下面的一个定理： 定理2.8 函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是函数f（x）在该点左连续且右连续. 如果函数f（x）在（a，b）内每一点都连续，则称函数y=f（x）在（a，b）内连续，区间（a，b）称为连续区间.如果函数y=f（x）在（a，b）内连续，且该函数在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数f（x）在闭区间［a，b］上连续.函数f（x）在它的定义域内的每一点都连续，则称f（x）为连续函数. 从几何直观上，区间上的连续函数的图象是一条不间断的曲线. 2.5.4闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有一些非常重要的性质，下面仅给出定理的叙述，不做证明. 定理2.13（最值存在定理）闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值.即若f（x）在［a，b］上连续，则在［a，b］上至少存在一点ξ1和一点ξ2，对于［a，b］ 上任一点x，均满足：f（ξ1）≤f（x）≤f（ξ2），称f（ξ1）为f（x）在［a，b］上的最小值，f（ξ2）为f（x）在［a，b］上的最大值. 注:如果定理2.13中“闭区间”和“连续”的条件不具备时，结论可能不成立.如函数y=x在开区间（0，1）内连续，但它既无最大值也无最小值. 推论1（有界定理）闭区间上的连续函数有界. 定理2.14（介值定理）闭区间上的连续函数必能取到介于最大值和最小值之间的一切值，即函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，c是介于f（x）的最大值M和最小值m之间的一个值，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=c. 推论2（零点存在定理）若f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）·f（b）0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.这个定理也叫做根的存在定理，常用来判断方程是否存有根. 【例14】证明方程x^5-3x^3+1=0在区间（0，1）内至少有一个根. 证明:令f（x）=x^5-3x^3+1，则f（x）显然在［0，1］上连续，并且有f（0）=10；f（1）=-10,则由零点存在定理可知，在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0，即ξ^5-3ξ^3+1=0，ξ∈（0，1）,这说明方程x^5-3x^3+1=0在（0，1）内至少有一个根. 第二章 函数的极限与连续 函数的极限 2.1 函数的连续性 2.5 极限的运算法则 2.3 两个重要极限 2.4 无穷小量与无穷大量 2.2 2.1 函数的极限 函数概念刻画了变量之间的关系，而极限概念着重刻画了变量的变化趋势.极限是学习微积分的基础和工具. 2．1．1数列的极限 先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列x1，x2，x3，…，xn，…,就叫做数列，简记为数列{xn}. 数列中的