高等数学教学课件-第七章 空间解析几何与向量代数.pptVIP

7.4 平面与空间直线 7.5 曲面与空间曲线 第七章 空间解析几何与向量代数 空间直角坐标系 7.1 曲面与空间曲线 7.5 向量的数量积和向量积 7.3 平面与空间直线 7.4 向量代数 7.2 7.1 空间直角坐标系 在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系把平面上的点与有序实数对建立了一一对应关系，从而将平面上的图形与代数方程联系起来，进而用代数的方法研究几何问题.空间解析几何也是依照类似的方法建立起空间中的点与有序数组间的一一对应关系，从而将空间图形与代数方程联系起来，并用代数的方法研究空间几何问题. 定义7.1 在空间中任取一点O，过点O作三条两两垂直的数轴，其中点O称为坐标原点.三条数轴分别是x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），它们三者间的方向符合右手定则，即右手握住z轴，并拢的四指由x轴的正方向自然弯曲指向y轴的正方向，这时拇指所指的方向就是z轴的正方向， 如图7.1所示.把这三条数轴统称为坐标轴.我们把由坐标原点O及符合右手定则的这三条坐标轴，称为一个空间坐标系.如图7.2所示. 将平面xOy，yOz，zOx称为坐标平面.三个坐标面将整个空间分成了八个部分，每一部分称为一个卦限.由x轴、y轴、z轴的正向所围成的空间称为第Ⅰ卦限；在xOy面上方其余三个卦限按逆时针方向依次规定为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方与第Ⅰ卦限所对的是第Ⅴ卦限；其余仍按逆时针方向依次规定为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.如图7.3所示. 建立坐标系之后，我们就可以将空间中的点与数对应起来了. 7.1.2空间中点的坐标 7.2 向量代数 向量是解决数学、物理及工程技术等问题的有力工具，本节主要向大家介绍向量的相关概念及向量的线性运算. 7.2.1向量的概念 在日常生活中，我们常会遇到两种类型的量，一类是只有大小的量，如长度、面积、温度、质量等；另一类是不仅有大小而且有方向，如力、速度、位移等，我们把前者的量称为数量或标量；后者的量称为向量或失量.在几何上我们曾经学习过有向线段，它是一条既有长度又有方向的线段，于是，我们可以用有向线段来表示向量：即用有向线段的长度表示向量的大小；有向线段的方向表示向量的方向. 例如，以A为起点，B为终点的向量可记为AB.同时，向量也可以用黑体或粗体字母来表示，例如，向量a，b，c等；另外，在书写上，我们还可以用在字母上方标注向右的箭头的形式表示向量，例如，向量a， b， c等. 在数学上我们所讨论的向量一般指的是自由向量，即只考虑其大小和方向，忽略向量所在的位置的向量.如果两向量a，b的大小和方向相等，则称两向量是相等或相同的向量，记为a=b. 向量的大小称为向量的模，例如，向量AB的模可记为|AB|，向量a的模记为|a|.其中模等于1的向量，称为单位向量，记为a0；模等于0的向量，称为零向量，记为0或0，零向量的方向是任意的. 当两向量a与b所在的直线平行或垂直时，称两向量平行或垂直，记为a∥b和a⊥b. 最后,给出两向量的夹角的定义. 定义7.2 设给定的两个向量a和b，将向量a或者b平移，使之有共同的起点，由一向量的正方向转到另一向量的正方向所转过的最小正角，称为两向量的夹角，记为（a，b）或（b，a），如图76所示.可见，两向量的夹角范围是0≤（a，b）≤π. 7.2.2向量的线性运算 1向量的和 我们曾经在物理上学习过力的合成与分解，其实运用的就是有关向量的和或差运算，在此基础上，我们给出向量的加法法则. 定义7.3（向量加法的平行四边形法则）设两个不平行的非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则向量OC称为向量a和b的和向量，记为a+b，如图77所示.称这种求两向量和的方法为平行四边形法则. 由图7.7可见，OA=BC，如果将向量a直接平移到BC的位置，我们同样也能求得OC这个向量. 定义7.4（向量加法的三角形法则）在平面上取一点O，作OB=b，作BC=a，以OB，BC为邻边作三角形OBC，则向量OC称为向量a和b的和向量，如图78所示.我们称这种求两向量和的方法为三角形法则. 【例1】计算AB+BC+CD+DE的和向量. 解:AB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE. 由此可见，利用向量的三角