高等数学教学课件-第六章 定积分.pptVIP

6.6 定积分的应用 在本节中，我们主要利用微元法讨论定积分在几何和物理上的一些应用. 6.6.1微元法 在利用定积分的定义计算量F=f（x）在区间［a，b］上的值时，根据定积分的定义，我们一般会从四个步骤来进行分析计算：分割、近似表示、求和式、取极限.其中第二步是关键的一步，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步中被确定的，第三、四步只不过是对被积函数在区间［a，b］上的无限累加.于是，求量F可以简化成二步： （1）在区间［a，b］上任取一代表区间［x，x+Δx］，然后定出在该代表区间上量F的微元dF=f（x）dx. （2）将量微元dF在区间［a，b］上积分（即对dF无限累加），从而得到F=∫baf（x）dx， 以上求量F的方法称为微元法. 对微元法的应用需注意如下两点： （1）在代表区间［x，x+Δx］上确定微元时，一般本着“以常代变”、“以直代曲”、“以匀代不匀”的思路来分析问题中的数量关系，从而得到dF=f（x）dx的关系式. （2）微元dF=f（x）dx的表达一定要准确，即dF与实际函数的改变量ΔF的误差是关于Δx的高阶无穷小（ΔF-dF=o（Δx）），否则积分求得的值不是量F.下面就利用微元法来讨论定积分在几何和物理上的一些应用. 6.3 定积分的计算 微积分基本公式将定积分的计算与不定积分联系起来，于是定积分的计算也有换元和分部积分两种基本方法. 6.3.1换元积分法 定理6.3 如果两定积分∫baf（x）dx和∫βαf（φ（t））φ′（t）dt满足下列条件： （1）f（x）在区间［a，b］上连续； （2）φ（t）在区间［α，β］上有连续的导数，且φ（α）=a，φ（β）=b； （3）f（φ（t））在区间［α，β］上连续，则∫baf（x）dx=∫βαf（φ（t））φ′（t）dt. 对上述定理的说明： 定理中的三个条件是为了保证函数f（x）和f（φ（t））在相应区间上连续，从而使得它们的积分存在.另外，定理还指出，定积分在换元的同时要换限，即原来的上限对应现在的上限，原来的下限要对应现在的下限. 下面通过几个例子，熟悉换元积分法的用法. 6.4 广义积分 在前面讨论定积分时，被积函数要么在闭区间上是连续的，要么在区间上只有有限个间断点且是有界的函数.而在实际问题中，如果当被积函数不满足这些条件时，我们又如何去研究类似积分问题呢？本节将介绍两类类似于定积分的情况：无穷区间上的积分和无界函数的积分，这两种情况下的积分称为广义积分，相应的前面所讨论的定积分通常称为常义积分. 6.4.1无穷区间上的广义积分 先看这样一个例子： 引例：求由x轴，y轴以及曲线y=e-x所围的，延伸到无穷远处的图形的面积A，如图6.11所示. 6.5 反常积分的审敛法 第六章 定积分 定积分的概念 6.1 反常积分的审敛法 γ函数 6.5 定积分的计算 6.3 广义积分 6.4 微积分基本公式 6.2 定积分的应用 6.6 6.1 定积分的概念 在积分学中，定积分是另一个基本问题.我们从几何与力学问题引出定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法.可以说，只有定积分才能将微积分思想得以真正的完整的体现. 为了便于理解，我们首先从这样两个例子讲起. 6.1.1引例 引例1面积问题. 设函数y=f（x）≥0在区间［a，b］上是连续的，如图6.1所示，求由曲线y=f（x），x=a，x=b以及x轴所围成图形（该图形称为曲边梯形）的面积A.分析该图形的面积没有现成的计算公式，如果用传统的计算思想和方法去求解显然是行不通的.微积分却突破了原先的思维， 提出了一种全新的思维方式：化整为零取近似；聚零为整求极限. 下面，运用这种思想和方法来求曲边梯形的面积. 6.1.4定积分的性质 为了计算和理论上的需要，我们在此介绍一下定积分的性质.这些性质都可以利用定积分的定义、极限的性质和运算法则推导得出.另外，下列性质中的函数在其积分区间上都假定是可积的，积分上下限在没有特别指明的情况下，下限不一定比上限小. 6.2 微积分基本公式 从上节的例子可以看出，若利用定义去计算定积分是比较烦琐的；若利用它的几何意义来计算定积分，虽然简单但是却很有限.那么，对于一般的定积分而言，有没有一种简单而有效的方