高等数学教学课件-第十二章 常微分方程.pptVIP

2. f(x)=eλxpm(x)cosωx或f(x)=eλxpm(x)sinωx型 设方程y″+py′+qy=e^λxpm(x)cosωx(30) 或y″=py′+qy=e^λxpm(x)sinωx，(31) 其中，p，q，λ，ω＞0均为常数，pm(x)为m次多项式，可以证明(从略)方程(30)或(31)具有形如y*=xke^λx[Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx]的特解，其中Qm(x)，Rm(x)为待定m次多项式，而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0. 第十二章 常微分方程 微分方程的基本概念 12.1 二阶常系数齐次线性方程的解 12.5 可降阶的高阶微分方程 12.3 二阶线性微分方程解的结构 12.4 一阶微分方程及其解法 12.2 二阶常系数非齐次线性方程的解法 12.6 12.1 微分方程的基本概念 在本节中我们通过两个例子引出微分方程的有关概念. 【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程. 【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件，得y′=x^2，(1)两边积分，得y=1/3x^3+C.(2)式中，C为任意常数.由于所求曲线过点(0,1)，即y|x=0=1代入式(2)，得C=1，所以所求曲线方程为y=1/3x^3+1.(3) 【例2】一质量为m的物体在重力作用下作自由落体运动.假设开始计时(t=0)时物体已下落s0，且其速度为v0，试求该物体的运动规律. 【解】设物体的运动方程为s=s(t)，由牛顿第二定律有md2sdt2=mg，即d2sdt2=g，且未知函数s=s(t)满足条件s|t=0=s0，ds/dtt=0=v0.将式两边积分一次，得 v=ds/dt=gt+C1，再积分一次，得s=1/2gt^2+C1t+C2，将式代入式得C1=v0，C2=0.因此，所求运动规律为s=1/2gt^2+v0t. 下面给出微分方程的基本定义. 定义12.1 若在一个方程中涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程. 定义12.2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 根据定义12.2，方程(1)是一阶微分方程;方程(4)是二阶微分方程.一般地,设x为自变量，y为未知函数，n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′，y″，…，y(n))=0. 定义12.3某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程，满足微分方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解. 在例1中，一阶微分方程(1)的解式(2)中含有一个任意常数；在例2中，二阶微分方程(4)的解式(7)中含有两个任意常数.像这样，若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数，则称此解为方程的通解.例如，函数(2),(7)分别是方程(1),(4)的通解.当通解中各任意常数都取定值时所得的解，称为方程的特解.如函数(3),(8),分别是方程(1)，(4)的特解.用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件. 一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解. 微分方程的通解的图形是一簇积分曲线，而特解的图形是积分曲线簇中的一条曲线. 12.2 一阶微分方程及其解法 一阶微分方程的一般形式为y’=F（x，y）（10） 下面介绍几种常见的一阶微分方程的基本类型及其解法 12.2.1 可分离变量的一阶微分方程 在一阶微分方程中，形如dy/dx=f(x)·g(y)(11)的方程，称为可分离变量的方程.其中，函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程(11)变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式(11)两边分别积分，得∫1g(y)dy=∫f(x)dx+C.若设G(y)及F(x)依次为1g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C.可以证明，G(y)=F(x)+C就是方程(11)的通解，显然也是方程(11)的通解.值得说明的是，对方程(11)求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0，则可由方程(11)求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中. 12.2.2 一阶线性微分方程 如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(15)的形式 ，即方程关