高等数学教学课件-第十章 曲线积分与曲面积分.pptVIP

10.7 斯托克斯公式环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面E上的曲面积分与沿着E的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可以用下面的定理来加以阐述. 定理10.9 设T为分段光滑的空间有向闭曲线，E是以T为边界的分片光滑的有向曲面，T的正向与E的侧符合右手规则（即用右手并拢的四指沿T的绕行方向弯曲，若拇指所指的方向与E上法向量所指的方向相同时，此时称T是有向曲面E的正向边界曲线）函数P（x，y，z），Q （x，y，z）， R （x，y，z）在曲面E（连同边界T）上具有一阶连续偏导数，则有 此式即为斯托克斯公式.为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式写成如下形式： 利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的两外一种形式： * 10.4 对面积的曲面积分 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 面密度为常量时 用网格线分割曲面∑为 求和取极限 取近似 对面积的曲面积分的性质 存在条件(充分): 曲面Σ的面积元素 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 线性性质 特别地 Σ的面积 10.5 对坐标的曲面积分 10.5.1 对坐标的曲面积分的概念 为了讨论对坐标的曲面积分.首先对曲面做些说明. 对坐标的曲线积分需要规定曲线的力向，类似地．对坐标的曲面积分也需要规定曲面的侧．因此，我们先讲曲面的侧，设曲面z是光滑曲面，曲面上任意一点A4在Ay点有方向州反的两个法向量，选定了Z L的一个法向量就是确定了z的一侧通常我们所遇到的曲团那是双侧的．例如z＝z（x，y) 面有内侧与外侧之分；又例如一张包围策一空间区域购闭曲面，合外侧与内侧之分，以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的．对曲面双侧曲面的侧我们作如F的规定：如果z是封闭的光消或分片光滑曲面，则规定法向且方向朝外的一侧见外侧，法向量创内的一侧为内侧. 如果Z是非封闭的，方程为z＝z(x，y)，则规定法向量与z轴正向的夹角为锐角的一侧为上侧，法向量与正向的夹角为钝角的侧为下侧．同样对非封闭的光滑曲面，其方程为z＝y（x，y)或x＝x(i)，则按法向量与v轴(或x轴)的正向的夹角为锐角或钝角分别有右侧与左侧(或前侧场后侧)． 下面从计算流量问题引进对坐标的曲面积分的概念 设有曲面z，并选定其一侧．现有一稳定流动的不可压缩的流体(即流体中点的速度只与该点的位置有关而与时间无关〕，其密度处处相同．若以速度v流过曲颁，求流体在单位时间内流过曲面z从指定一侧流出的流量．将有向曲面z任意分成n小份(表示这个小块曲面的面积．在每小块n1取一点)，当其直径很小时，可以近似看作一小块平面. 10.6 高斯公式通量与散度 第十章 曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分 10.1 对坐标的曲面积分 10.5 格林公式及其应用 10.3 对面积的曲面积分 10.4 对坐标的曲线积分 10.2 高斯公式通量与散度 10.6 斯托克斯公式环流量与旋度 10.7 10.1 对弧长的曲线积分 10.1.1对弧长的曲线积分的概念及性质 我们首先来看一个物理上的例子. 引例假设平面内有一段曲线弧L具有质量，在L上任一点（x，y）处的线密度为ρ（x，y），且ρ（x，y）在L上连续，A与B分别是弧L的端点，现计算弧L的质量m，如图10.1所示.分析在L上任意地插入n+1个分点A=M0，M1，…Mi-1，Mi，…，Mn=B将L分划成n个小弧段.对于第i个小弧段Mi-1Mi由于线密度函数ρ（x，y）在L上连续，当该小弧段的长度充分小时，它的质量近似地等于ρ（ξi，ηi）Δsi，其中（ξi，ηi）是Mi-1Mi上的任一点，Δsi表示Mi-1Mi的长度.于是整个曲线弧L的质量近似值为m=∑ni=1ρ（ξi，ηi）Δsi，用参数λ表示n个小弧段中长度最长的，即λ=max1≤i≤n{Δsi}. 为了得到质量m的精确值，只需对和式m≈∑ni=1ρ（ξi，ηi）Δsi取λ→0的极限，得到该弧长的质量为m=limλ→0∑ni=1ρ（ξi，ηi）Δsi.撇开上例的物理意义，我们引入对弧长的曲线积分的概念. 定义10.1设L为平面内的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界，在L内任意插入(n+1)个分点A=M0，M1，…Mi-1，Mi，…，Mn=B，它把L分成n个小弧段，设第i个小段Mi-1Mi的长度为Δsi，（ξi，ηi