高等数学教学课件-第四章 微分中值定理与导数的应用.pptVIP

4.3.2最值 在生产实践和工程技术中经常会遇到最值问题：在一定条件下，怎样才能使得成本最低、利润最高、原材料最省等等.这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值最小值问题，在这一段中，我们就来讨论函数的最值问题. 设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续、（a，b）内可导，且至多有有限个极值点.根据闭区间上连续函数的性质，f（x）在［a，b］上一定存在最值，而且，如果函数的最值是在区间内部取得，那么其最值点也一定是函数的极值点，因而也一定是函数的驻点（由假设）.当然，函数的最值点也可能取在区间的端点上.因此，我们可以按照如下的步骤来求函数的最值： 4.4 曲线的凹凸性与拐点 在前面两节，我们讨论学习了函数单调性和极值的判定方法，这些对于我们研究函数性态作出函数图形有很大的帮助，在本节中我们就函数的单调性作更细致的研究. 我们首先还是来观察下面的两条曲线，如图4.6所示，看一看它们单调增加的方式有什么不同. 一个很明显的区别是：虽然它们都是单调递增的，但是一个是向上“鼓鼓”地增；另一个是向下“鼓鼓”地增，它们递增的方式是不同的.那么如何判定函数的单调变化方式呢？我们先引入如下定义. 4.5 图像的描绘 4.6 曲率 第四章 微分中值定理及导数应用 微分中值定理 4.1 图像的描绘 4.5 函数的极值与最值 4.3 曲线的凹凸性与拐点 4.4 函数的单调性 4.2 曲率 4.6 4.1 微分中值定理 导数反映的是函数在某一点处的局部性质，本章我们将学习微分学基本定理，在微分中值定理的基础上进一步从局部性质去推断函数在某个区间上的整体性态. 4.1.1微分中值定理 引理（费马定理）设函数y=f（x）在（a，b）内有定义，且在（a，b）内的点ξ处取得最大（小）值；另外y=f（x）在ξ处可导，则必有f′（ξ）=0. 1罗尔定理 定理4.1设函数f（x）满足： （1）在闭区间［a，b］上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）f（a）=f（b）. 则至少存在一点ξ∈（a,b），使得f′（ξ）=0. 证明：由条件（1）知，f（x）在［a，b］上存在最大值M和最小值m. 特殊地，若M=m时，则f（x）为常值函数，此时结论总成立；一般地，若Mm时，则由条件（3）f（a）=f（b）知，M和m中至少有一个在区间（a，b）内部取得（不妨设为M），根据费马定理得，至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0. 【例1】设f（x）=（x－1）（x－2）（x－3）（x－4），不求导数证明f′（x）=0有且仅有三个实根. 证明：显见f（x）=0有四个实根x=1，2，3，4.考察区间［1，2］，［2，3］，［3，4］，这三个区间显然满足罗尔定理的三个条件，于是得f′（x）=0在其内各至少有一个实根，所以方程f′（x）=0至少有三个实根；另一方面，f′（x）是一个三次多项式，在实数范围内至多有三个实根. 综上可知，f′（x）=0有且仅有三个实根. 4.2 函数的单调性 单调性是函数的重要特性，这一节将讨论怎样用导数这一工具来判断函数的单调性.首先观察下面的两图（见图4.5），注意观察曲线的单调性与其上切线的走向和切线斜率的符号. 容易看出，曲线的单调性跟其上任一点处的切线走向密切相关，直观上不难理解如下的函数单调性判定定理. 定理4.6 设函数f（x）在区间I上可导，如果在区间I上满足：（1）在I上f′（x）0，那么函数f（x）在I上单调增加；（2）在I上f′（x）0，那么函数f（x）在I上单调减少. 证明：在区间I上任意取两点x1，x2（x1x2），考察区间［x1，x2］满足拉格朗日中值定理，所以在（x1，x2）内至少存在一点ξ，使得f（x2）－f（x1）=f′（ξ）（x2－x1）（x1ξx2），因为x1x2，所以在区间I上f′（x）0时，f（x2）－f（x1）0，函数f（x）在I上单调增加；同理f′（x）0时，函数f（x）在I上单调减少. 【例1】证明函数f（x）=sin x－x+x36在区间［0，+∞）上是单调增加的. 证明：函数f（x）的一阶导数是f′（x）=cos x－1+x22，因为二阶导数f″（x）=x－sin x0（x0），所以f′（x）单调增加.即f′（x）f′（0），又因f′（0）=0，所以f′（x）0（x0），从而得f（x）在区间［0，+∞）上是