高等数学教学课件-第十一章 无穷级数.pptVIP

若函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则称幂级数f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+…为f(x)的泰勒级数.特别地,当x0=0时,称幂级数 f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+…为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数. 如果f(x)在区间(a,b)内的各阶导数都存在,则对任意的正整数n,泰勒公式都成立.如果对于任意的x∈(a,b),都有limn→∞Rn(x)=0,则f(x)=limn→∞∑nk=0f(k)(x0)k!(x-x0)k+limn→∞Rn(x) =limn→∞∑nk=0f(k)(x0)k!(x-x0)k,x∈(a,b).由于上式右端方括号内的式子是幂级数∑∞n=0f(n)(x0)n!(x-x0)n的前n+1项部分和式说明,级数在区间(a,b)内收敛,且其和恰好就是f(x).因此,我们把幂级数称为f(x)的泰勒级数,并说f(x)可展开成泰勒级数,即 f(x)=∑∞n=0f(n)(x0)n!(x-x0)n, x∈(a,b).综上所述,如果函数f(x)在区间(a,b)内满足:1°具有任意阶导数,2°limn→∞Rn(x)=0,则f(x)在(a,b)内可展开成泰勒级数特别地,当x0=0时,泰勒级数就成为∑∞n=0f(n)(0)n!xn,并把式称为f(x)的麦克劳林级数. 2 函数展开成幂级数 1. 直接展开法 将函数f(x)展开成x的幂级数(即麦克劳林级数)的步骤如下: 1°求出f(x)在点x=0的各阶导数值f(n)(0); 2°写出幂级数∑∞n=0f(n)(0)n!xn,并求其收敛半径R; 3°考察余项Rn(x)在区间(-R,R)内的极限limn→∞Rn(x)=limn→∞f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1(ξ在0与x之间)是否为零. 4°如果limn→∞Rn(x)=0,则在(-R,R)内f(x)可展开成x的幂级数,即有f(x)=∑∞n=0 f(n)(0)n!xn,x∈(-R,R).如果limn→∞Rn(x)≠0,则幂级数∑∞n=0f(n)(0)n!xn虽然在(-R,R)内收敛,但它的和函数不是f(x),换言之,f(x)不能展开成x的幂级数. 11.5 函数幂级数展开式的应用 11.5.1 近似计算 级数的应用是很广泛的，可用于进行数值计算，可用于计算积分，可用于表示非初等函数并用它进行一些运算和证明，等等.以下是一些数值计算方面的应用的例子. 11.6 函数项级数的一致收敛性及 性质 对于幂级数来讲，连续的无穷多个幂级数的和函数仍然是连续的；无穷多个幂级数的导数或积分的和仍然等于它们的和函数的导数或积分.但对于一般的函数项级数来讲，则不尽然.例如函数项级数x +(x^2-x)+(x^3-x^2)+…+(x^n-x^(n-1))的每一项在区间[0，1]上连续，它的前n项部分和函数sn（x）=x^n,由和函数的定义，知道该函数在x=1处间断.这样就提出一个问题，什么样的函数项级数从它通项的连续性能得出它的和函数的连续性，从它通项的导数或积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数或积分呢？为此，我们引入函数项级数的一致收敛性的概念. 11.6.1 函数项级数的一致收敛性 11.7 傅里叶级数 在实际问题中经常遇到周期函数．例如正弦函数和余弦函数．利用正弦函数和余弦函数的性质可以很好地解决许多问题．但除了正弦函数和余弦函数外，还会遇到其他类型的周期函数，可以借助于三角级数理论来研究一般的周期函数． 一般地，形如a0/2+Ecosnx十bsin nx)的级数称为三角级数，其中（an，bn，n=1，2，3．…)都是常数．如同讨论幂级数时一样．边要讨论三角级数的收敛问题，以及如何把周期为2n的函数展开成三角级数．首先介绍三角函数系的正交性． 11.7.1 三角函数的正交性 11.8 一般周期函数的傅里叶级数 上一节我们讨论了以2 π为周期的函数的傅里叶级数展开的方法，但在实际问题中还会遇到周期不是2 π的情况.本节我们就以2l（l0）为周期的函数或定义区间为[-l,l]上的函数的傅里叶级数展开问题. 11.8.1 周期为2l的函数展开为傅里叶级数 11.8.2 傅里叶级数的复数形式 在工程上，为简便起见，常采用傅里叶级数的复数形式，对此介绍如下： 设周期为2l的函数f（x）的傅里叶级数为 第十一章 无穷级数 数项级数的概念