高等数学教学课件-第一章 集合与函数.pptVIP

1.3 建立函数关系式 第一章 集合与函数 集 合 1.1 映射与函数 1.2 建立函数关系式 1.3 1.1.1 集合的概念 所谓集合，按集合论的奠基者康托尔（Cantor）所述：“集合”为我们的感觉或思维中确定的个别对象的汇总。通俗地说，集合就是指具有某种属性的对象的全体，所确定的每一个对象称为集合的“元素”。 集合（简称集）的例子很多.例如，自然数的全体构成一个集合；整数的全体构成一个集合；实数的全体也构成一个集合.通常我们把自然数的全体构成的集合记作N={0，1，2，3，…}，整数的全体构成的集合记作Z={0，±1，±2，…}，实数的全体构成的集合记作R. 习惯上，我们用大写字母A，B，C…表示集合，而用小写字母a，b，c，…表示元素. 通常我们用列举法或性质描述法来表示一个集合.列举法表示一个集合的形式为A={a，b，c，…}. 用性质描述法表示一个集合的形式为A={x|x具有的性质}. 例如，上面的自然数集N={0，1，2，3，…}，整数集Z={0，±1，±2，…}等都是用列举法表示的集合；而对于X={xx0，x∈R}，A={xx3-1=0}等都是用性质描述法表示的集合. 集合的表示方法便于我们表示一个具有某种性质的集合.例如，为了表示以正实数为元素的集合，我们可记为X={x|x0}. 为了表示介于a与b之间的所有实数为元素的集合，我们可记为Y={xaxb}. 同样，为了表示以圆x^2+y^2=1上的点为元素的集合可表示为A={（x，y）x^2+y^2=1}.注集合的元素不仅可以是抽象的数，也可以是一些具体的实物.例如，将某班级看作一个集合，其元素可取为该班的学生；若将某公司看作一个集合，它所属的工厂就可作为元素. 如果a是集合A的元素，则记作a∈A，读作a属于A；如果a不是A的元素，则记作aA，读作a不属于A.一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集. 不包含任何元素的集合，称为空集，记作. 例如：若A={x|x0且x0}，则A是空集，于是记为A=. 【例1】用集合符号表示下列集合： （1）方程x^2-3x+2=0的根的集合； （2）小于10的全体正整数的集合； （3）直线x+y=1上的点的集合. 解（1）A={1，2}； （2）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}； （3）A={（x，y）x+y=1}. 1.1.2集合的运算 1集合的并 设集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}.显然有 （1）A包含于（A∪B）（2）B包含于（A∪B）（3）A∪A=A（4）A∪U=U（5）A∪○=A. 2集合的交 设集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B即A∩B={x|x∈A且x∈B}.显然有 （1（A∩B包含于A（2）（A∩B）包含于B（3）A∩U=A （4）A∩A=A（5）A∩=. 3集合的补 设全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记作A，读作A的补集即A={xx∈U且xA}. 4集合的差 设集合A和B，由属于A，而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差集，记为A-B，读作A与B的差集即A-B={xIx∈A且xB}. 【例2】利用集合的运算表示下列集合，并求出集合的元素的个数. 设某班有100名学生，有70名学生会讲汉语，以集合A表示这些学生；有75名学生会讲英语，以集合B表示这些学生；有50名学生两种语言都会讲，以集合C表示这些学生.求： （1）只会讲汉语的学生的集合及人数； （2）只会讲英语的学生的集合及人数； （3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合及人数； （4）两种语言都不会讲的学生的集合及人数. 解（1）只会讲汉语的学生的集合A-C.人数为70-50=20（人）. （2）只会讲英语的学生的集合B-C,人数为75-50=25（人）. （3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合A∪B,人数为20+25+50=95（人）. （4）两种语言都不会讲的学生的集合A∪B,人数为1００－９５＝５（人）. 【例3】如果A={x|0x5}，B={x|3x6}，求： （