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理论力学7 变分法
第 七 章
力学中的变分方法
本章主要内容
§1、Hamilton原理
§2、正则变换
§3、Hamilton-Jacobi方程
§4、从质点组到连续体系
2
§1、Hamilton原理
1、变分法
2、 Hamilton原理的表述
3、修正的Hamilton原理
3
1、变分法
（1）函数
设t为自变量，F 为t 的函数。如果自变量从t
变化到 t = t Dt, (其中， 为小量)
Dt F
函数F相应的变化为：
1 2
F (t ) F (t ) = DF D F
2!
1 2
= F Dt F (Dt ) ,
2!
如果在t点，对任意小量 Dt, DF = 0, O t t
就称F 在t 点取稳定值。
4
显然，
F 在t点取稳定值 F t = 0
稳定值可能是极大值，也可能是极小值或非极值(如图)。
（2）泛函
设t为自变量，x为t的函数，即 x = x (t), 所以 x = dx / dt ,
为 的已知函数, x
f (x ,x ,t ) x , x ,t
f ，x 都有连续的2阶导数。
x (t)的泛函记为F [x(t)]，定义为：
t
2
F [x (t )] t f (x ,x ,t )dt .
1
泛函F [x (t)]与 f 的函数形式有关。 O t1 t2 t
对函数F (t) ： t F , t F ,
x (t ) = t 2 F , x (t ) = sin(t ) F ,
对泛函F [x (t)]：
5
所以，泛函是函数的函数。
从 (t , x )到(t , x )， x
1 1 2 2
x
什么函数 x (t)使泛函F [x (t)] 2
取稳定值？
要求：x(t
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