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矩阵分析第九章
第九章第九章第九章第九章 矩阵矩阵矩阵矩阵的的的的KroneckerKronecker积积积积
第九章第九章第九章第九章 矩阵矩阵矩阵矩阵的的的的 积积积积
第一节第一节第一节第一节 定义及性质定义及性质定义及性质定义及性质
第一节第一节第一节第一节 定义及性质定义及性质定义及性质定义及性质
定义：定义：定义：定义：设设A == (a ) , B == (b ) , 则称则称
定义：定义：定义：定义：设设 == ij m××n == ij p ××q 则称则称
×× ××
aa BB aa BB LL aa BB
11 12 1n
a B a B L a B
21 22 2n
A⊗ B = M M M M
a B a B L a B
m1 m2 mn mp×nq
为为AA 与与与与BB 的的的的KroneckerKronecker积积积积.
为为 与与与与 的的的的 积积积积
•不满足交换率不满足交换率, 即即A ⊗⊗B ≠≠ B⊗⊗A
不满足交换率不满足交换率 即即 ⊗⊗ ≠≠ ⊗⊗
简单性质简单性质简单性质简单性质::
简单性质简单性质简单性质简单性质
(1)(1) k(A ⊗⊗B) == (kA)⊗⊗B == A ⊗⊗(kB);
⊗⊗ == ⊗⊗ == ⊗⊗
(2)(2) A ⊗⊗(B++C) == A ⊗⊗B++A ⊗⊗C, (B++C)⊗⊗A == B⊗⊗A++C⊗⊗A ;
⊗⊗ ++ == ⊗⊗ ++ ⊗⊗ ++ ⊗⊗ == ⊗⊗ ++ ⊗⊗
(3)(3) (A++B)⊗⊗(C++D) == A ⊗⊗C ++ A ⊗⊗D ++ B⊗⊗C ++ B⊗⊗D ;
++ ⊗⊗ ++ == ⊗⊗ ++ ⊗⊗ ++ ⊗⊗ ++ ⊗⊗
(4)(4) A ⊗⊗(B⊗⊗C) == (A ⊗⊗B)⊗⊗C == A ⊗⊗B⊗⊗C;
⊗⊗ ⊗⊗ == ⊗⊗ ⊗⊗ == ⊗⊗ ⊗⊗
(5)(5) E ⊗⊗E == E ⊗⊗E == E ;
⊗⊗ == ⊗⊗ ==
mm nn nn mm mnmn
(6)(6) 若若A , B均为上均为上(下下)三角阵三角阵, 则则A ⊗⊗B也为上也为上(下下)三角阵三角阵;
若若 均为上均为上 下下三角阵三角阵 则则 ⊗⊗ 也为上也为上 下下三角阵三角阵
(7)(7) (A ⊗⊗B)H == AH ⊗⊗BH ;
⊗⊗ == ⊗⊗
(8)(8) 若若A , B均为均为Hermite矩阵矩阵, 则则A ⊗⊗B也为也为Hermite矩阵矩阵;
若若 均为均为 矩阵矩阵 则则 ⊗⊗
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