研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一.pdf

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵. A 的实系数多项式f (A) 的全体，对于矩阵的加法 和数乘； （2 ）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的 乘法； （3 ）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘o运算： k (k −1) 2 (a,b) ⊕(c, d ) (a +c,b +d +ac), k o(a,b) (ka,kb + a ) 2 （4 ）设R + 是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： a ⊕b ab, k oa ak 其中a,b ∈R+, k ∈R ； （5 ）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数 乘； （6 ）设V x x c sin t +c sin 2t +L+c sin kt, c ∈R,0 ≤t ≤2π ，V 中 { 1 2 k i } 元素对于通常的加法与数乘，并证明：{sin t,sin 2t,L,sin kt}是V 的一个基，试 确定c 的方法. i 解 （1）是. 令V {f (A) f (x)是实系数多项式，A 为n ×n矩阵}. 由矩阵的加法和数乘运 1 算知, f (A) +g (A) h(A), kf (A) d (A), 其中k 为实数，f (x), h(x), d (x) 是实系数多项式. V 中含有A 的零多项式，为V 的 1 1 零元素. f (A) 有负元−f (A) ∈V . 由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V 关 1 1 于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. （2 ）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它 们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. （3 ）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求. 任取该集合中的三个元素，设为α (a,b),β (c, d ),γ (f , g ) , 以及任意实 数k ,l ,则有 ① α⊕β (a +c,b +d +ac) β +α ; ② (α⊕β) ⊕γ (a +c,b +d +ac) ⊕γ ((a +c) +f , (b +d +ac) +g +(a +c)f ) (a +(c +f ), b +(d +g +cf ) +a(c +f )) α⊕(c +f , d +f +cf ) α⊕(β ⊕γ) ; ③存在(0,0),使得 (a,b) ⊕(0,0) (a +0,b +0 +a0) (a,b) , 即(0,0)为零元; ④存在(−a, a 2 −b) ,使得 (a,b) ⊕(−a, a 2 −b) (a −a,b +(a 2 −b) +a(−a)) (0,0) , 即(−a, a 2 −b) 是(a,b) 的负元; 1(1−1) 2 ⑤1