第二章 弹性体动力学的变分原理.pdf

第二章 弹性体动力学的变分原理 §2.1 弹性体动力学的功能概念 第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互 关系，根据动量定理建立它的基本方程。这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问 题，根据能量变分原理来建立基本方程（控制方程）。首先介绍外力功、应变能、动能等三 个弹性体的能量概念。 2.1.1 外力功的概念 弹性体上作用的外力一般地分为两类：一类分布在区域V内的体积力f ；一类作用在边 i 界S上的面积力i 。在运动过程中弹性体发生微小位移du ，外力在微小位移上所作的功，称 i i 为外力元功 W f du dV =Δ t du dS + (2.1) e i i i i ∫ ∫ V S 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和，即 W W Δ∑ (2.2) e e 一般情况下，外力可能是时间、速度和位移等的函数，（2.2）式不一定存在积分形式。只 是外力是位移场变量的函数且具有位，积分形式才有意义。上述功的的对内力同样适合。 2.1.2 应变能的概念 弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。它发生变形时，伴随产生力图恢复变形 的弹性力，同时在弹性体内贮存一种位能，称为应变能。在 1.5.2 节已叙述了它的概念， 应变能是个相对值，一般取初始构形（未变形构形）为零应变能构形，瞬时构形的应变能 是该瞬时应变分量的函数，是变形过程中弹性恢复力所作的功，是个非负的标量。它为 1 1 ε UdVσ ε C dV ε ε i( ij) ∫ij ij ijkl∫ij kl （2.3） 2 V 2 V 它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关，取决于当时的应变状态。从热力学观 点看，若弹性体变形过程是一个绝热过程，即它是与外界没有热交换的等熵可逆过程，它 的应变能就是弹性体的内能。若弹性体变形过程是等温过程，则它的应变能是弹性体的自 由能。 2.1.3 动能的概念 弹性体的惯性性质是弹性体的运动属性。它运动产生速度时，弹性体就具有一种运动