维修线性流量阀时的内筒设计问题.pdf

全国第三届研究生数学建模竞赛 全国第三届研究生数学建模竞赛 题 目 维修线性流量阀时的内筒设计问题 （C 题） 摘 要 ： 常见的阀体在开关时，阀体旋转的角度与流量并不是线性关系，而在某些领 域中要求二者为线性关系。本文对线性阀体的设计进行了研究，对阀体模型进行 了建立与简化， 用 Matlab、Maple 等工具对模型进行了求解，给出了适用性较 强的阀体设计方案。 针对问题 1，首先考察了内孔为四种特殊形状的情况下，“过流面积”随曲 线下降距离的变化情况，得到凸凹圆曲线与严格线性面积特性曲线偏差的平方和 最小，线性关系保持得比较良好。此后利用微元法证明了 “过流面积”呈严格线 性变化时曲线和外孔圆交点横坐标的差为定值这一性质，得出了在此种情况下曲 线在两交点处的斜率应为无穷大。基于以上分析，利用最小二乘原理建立了无约 束泛函极值模型，采用了变分法将其转化为微分方程，再转化为等效的变分原理， 采用 Ritz 算法近似求解。最后通过对内筒孔曲线的合理假设，得到了满足线性 关系较好的内孔曲线形状 （见图 11），其样本点的偏差平方和为 0.064412。 针对问题 2，利用最小二乘原理建立了有约束泛函极值模型。根据文中第四 节中的引理，给出理想状态下的内孔形状。之后对其进行了微调，通过牺牲严格 的线性关系来使其逐渐满足两个约束Qh  75% 和QS  85% ，并最终找到了合适 的内孔设计方案 （见图 13 （b））。最后针对外孔磨损情况提出了基于自动控制理 论和逆向工程技术等的解决办法。 本文提出的模型是从考察内孔的特殊形状中得到启发的，从而具有实际应用 价值和准确性。 关键词：线性阀体 最小二乘法 泛函极值模型 变分原理 非线性规划 参赛密码 。参赛队号 （由组委会填写） 一、问题的提出 阀体是我们日常工作和生活中一种十分常见的工具。它种类繁多，其中线性 阀体可使阀体的旋转角度和流量成正比。因而它可使人们方便地对流量进行控 制。而如何设计线性阀体成为当今控制领域中研究的热点问题之一。 现在我们需要设计出一种阀体，它由两个同心圆柱筒组成。外筒固定，其侧 面上有一个孔，形状为两个直径不等的圆柱体的交线。内筒和外筒轴向之间没有 相对运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也有一个孔，但它原来的形状未知。 要求设计出内筒孔的形状，使得“过流面积”与内筒旋转角成近似线性关系； 在线性区间至少达“最大范围”区间长度的 75%以上，而且主要工作区的最大“过 流面积”至少要达到外筒孔面积的 85%以上，并且使 “过流面积”和内筒的旋转 角度之间的 “线性关系”尽量好的约束限制下，重新设计内筒孔的形状。并且还 要考虑当外筒孔发生磨损时要采取的应对措施。 二、模型假设 1、阀体的旋转角度与内圆筒相对移动距离成正比，圆筒移动距离与 “过流面积” 成正比。 2 ．线性阀体内外筒为薄壁筒，不考虑其壁厚给设计带来的影响。 3、外圆筒直径与外圆孔直径相差很大，展开后外圆孔面积变化足够小，可近似 视为圆形。 4 、内筒在转动过程中，只存在周向水平运动，不存在垂直方向的运动。 5、假设内圆孔设计曲线与外圆孔曲线最多只有两个交点，可以有一段相切，且 曲线连续。 6、为简化计算，假设外圆孔半径为一个单位长度。 三、变量设定 R ：圆的半径，在本文中R 为一个单位长度 1； F x ：待求内孔的曲线方程；   f x ：内孔下边沿曲线方程；   G x ：外圆孔上半圆方程，y  1x 2 即圆的方程x 2 y 2  1；   h ：曲线下降的距离微元；