2015年考研高等数学导学班教师版.pdf

高等数学导学班讲义（上册） 第一章：函数与极限 本章数一、数二、数三复习内容大同小异。 一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题 1、 本章第一节中的集合、映射、双曲函数数一、数二、数三的考生都不用复习，相应习题 不做； 2 、 本章利用极限定义（N ,, X ）证明的题目可以不做； 3、 本章第十节中的“三、一致连续性”三类考生都不用复习。 二、本章需修改的概念 1、间断点 定义 1：函数f (x ) 在x0 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情况之 一 ① 在x0 点没有定义； ② 虽在x0 点有定义，但 lim f (x ) 不存在； x x 0 ③ 虽在x 点有定义，且 lim f (x ) 存在，但 lim f (x )  f (x ) 0 0 x x x x 0 0 则x0 叫f (x ) 的一个间断点。 例如：y ln(x 1) ，点x 1,x 2 都不是间断点。 2 、无穷间断点 定义 2 ：设x0 是f (x ) 的一个间断点，如果满足 lim f (x ) 或 lim f (x ) ，则x0 叫   x x x x 0 0 f (x ) 的一个无穷间断点。 1 例如：f (x ) e x 1 ，则x0 1叫f (x ) 的一个无穷间断点。 三、关于本章一个定理的描述 本章中关于闭区间上连续函数的介值定理以下列方式描述更易把握其使用。 定理：如果f (x ) 在闭区间[a,b] 上连续，m, M 是函数在该区间上的最小与最大值，则对 任意的[m,M ] ，在[a,b] 上至少存在一点 ，满足f ()  。 评注：只要看到证明在闭区间上至少有一点使得某等式成立的题目，就想到用介值定理。 例如：设f (x ) 在(a,b) 内连续，且a x x x b ，证明至少存在一点 [x ,x ] ， 1 2 n 1 n 1 f (x ) f (x ) f (x ) 使得f () 1 2 n 。 n 四、关于本章定理的要求 本章的所有定理都不需要会证明，重点是会用。以下三个定理最重要 n 1、极限存在的夹逼准则——主要用来求 项和数列极限的； 2、单调有界准则———主要用来求通项有递推公式给出数列极限的； 3、零点定理主要用来证明方程在某范围内至少有一个实根的。 五、本章重点理解的概念 本章＂数列的极限”这一个概念需要做到”理解” 。 六、本章需补充的内容 1、函数性质 命题 1：可导奇函