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金版教程2012高考复习考点测试15 导数在研究函数中的应用 基础训练 【基础训练】 一、选择题 1．（2007年广东）设是函数的导函数, 的图 象如右图所示，则的图象最有可能的是（ ） 2．函数在下面哪个区间内是增函数（ ） A．，） B．，2） C．，） D．，3） 3．的极值点的个数是（ ） A． B．． D．（为常数）在[－2，2]上有最大值3，则此函数在[－2，2]上的最小值等于（ ） A． B．． D．，都有，，且时，，，则 时（ ） A． B． C． D． 6．设，若函数（）有大于零的极值点，则（ ） A． ．． D．在（－，0）上的单调减区间为________ 8．若有极大值也有极小值，则的取值范围是____________ 9．设函数（），若对于任意，都有成立，则实数等于___________ 答案：7．（－，0）；8．或且；9．4。 9．解：， 当时，有，所以在是减函数， ，解得（与条件矛盾），不符合题意。 当时，令，得， 当时，有，所以在是减函数， 当，时，有，所以是增函数， 若，即时 ，在是减函数， 所以，解得（与条件矛盾），不符合题意。 若，即时，在上是增函数，在是减函数， 在是增函数，所以，解得。 三、解答题 10．已知（）在时取得极值，且。 （1）试求常数、、的值； （2）试判断是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由。 解：（1）； （2）当时，函数取得极大值;当时，函数取得极小值。 11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为（单位：万元），成本函数为（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为。 （1）求利润函数及边际利润函数；（提示：利润=产值－成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解：（1）（，且）； （，且）。 （2）年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大。 （3）， 所以当时，单调递减，所以单调递减区间为[1，19]，且。 是减函数的实际意义是随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少。 12．已知函数。 （1）求的最小值；（2）若对所有都有，求实数的取值范围。 解：（1）当时，的最小值为。 （2）。 高考·模拟 【高考专栏】 1．（2009·湖南卷）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ） 【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上 各点处的斜率是递增的，由图易知选A。 注意C中为常数噢。 2．（2010·山东卷）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） A．13万件 B. 11万件 C．9万件 D. 7万件 【解析】选择C。 令导数，解得；令导数，解得。 所以函数在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数， 所以在处取极大值，也是最大值，故选C。 3．（2009·广东卷）函数的单调递增区间是 A. B．(0, 3) C．(1, 4) D． 【解】,令,解得,故选D。 4．（2009·江苏卷）函数的单调减区间为 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 5．（2010·北京卷）设函数（），且方程的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。 【解析】由，得， 因为的两个根分别为1，4。 所以（*） （1）当时，又由（*）式得， 又因为曲线过原点，所以， 故。 （2）由于，所以“在无极值点”等价于 “在内恒成立”。 由（*）式得，，。 又， 所以，解得，即的取值范围为[1，9]。 6．（2010·全国II）设函数。 （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求的取值范围。 【参考答案】 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 【模拟专栏】 7．（2010·深圳一模）已知函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是 8．（2010·广东茂名一模）函数的导函数为，若·，则下列结论中正确的