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南开大学2000年数学分析考研试题.
设,
证明在点处连续,但不可微.
设具有连续的导函数,且,,,,
证明 ;
求;
求.
(1)叙述于区间上一致连续的定义;
设,都于区间上一致连续且有界,
证明也于上一致连续,
设函数列于区间上一致收敛于,且存在数列,使得当时,总有,证明于上有界.
设,,,
证明(1)若收敛,则也收敛.
如果,收敛,问是否也收敛?说明理由.
设于上连续,于上一致收敛,
证明收敛.
南开大学2000年数学分析考研试题解答
解:,
,
,于是在点处连续.
显然,,
当时,
的极限不存在,
所以在点处不可微.
(1)证明 由,
存在,当时,有,
,
由此,可知;
解
;
解
.
3、简略。
证明 由于在上一致收敛于,
对,存在正整数,当时,有
,,
,,
,,
即知在上有界.
5、设,,
证明: (1)当时, 收敛;
当,且时, 发散。
当,且收敛时,收敛。
证明 对任意正整数, ,(),
因为,所以,
(1)当时,利用不等式,
得 ,有界,故收敛;
(2) 当,且时,
,
无界,所以发散;
当,且时,
方法一
,
对任意大的,然后取充分大,就可使上式成立,于是不是基本列,故发散。
方法二 因为 ,
,从而发散,
若不收敛于0,则发散,
若收敛于0,
则得,
,(充分大),,
于是发散。
当,且时,发散;
当,且时,
因为,
所以发散;
(3)当,且存在有限,
,,
由于收敛,所以收敛;
因为,,
从而 ,由收敛,
得收敛。
当时,由 收敛,推不出收敛。
例如 设。
当时, 收敛,
但发散。
6、假设在中连续,如果对,积分都收敛,但积分发散,证明在上非一致收敛 .
证明 用反证法
假若在上一致收敛,
所以,当时,,有,
又由在中连续,
由条件得在上一致连续,从而,
且关于是一致收敛的;或者说 在上连续,
在中,令,可见 ,
即得 收敛 这与条件发散矛盾,
所以假设不成立.
故在上非一致收敛 .
南开大学2001年数学分析考研试题
计算三重积分,其中为由曲面与平面为界面的区域.
计算.
计算,为椭圆,方向为正.
设为一数列,满足,,
证明收敛;
能否确定的敛散性?说明理由.
设于上可导,且,(为常数)。
证明(1);(2)于上必有最小值.
设于上有定义,对任意实数,于上可积,且,(为有限数)证明.
设,时,连续且有界,
证明(1)对任意整数,于上一致收敛;
于内连续;
问于是否必一致收敛?说明理由.
南开大学2001年数学分析考研试题解答
解 ,
.
解 ,
.
解 ,,
,,
,,
取充分小,,
.
证明 (1)有条件知,,
,
而级数收敛,所以收敛;
不确定,
例1 ,发散;
例2 ,收敛.
5,6,7题的解答,简略。
9
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