Kronecker积及其应用.docVIP

矩阵的Kronecker积及其应用 陈蔚 （集美大学理学院数学系2005届，厦门 361021） [摘要] 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker积在求解几类矩阵方程中的应用。 [关键词] Kronecker积，特征值，拉直，矩阵方程，＋矩阵方程，－矩阵方程，矩阵微分方程 0、引言 众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积，但我们却可以求它们的Kronecker积.对于矩阵的Kronecker积问题，绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了Kronecker积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献[1-11]中找到. 矩阵的Kronecker积的概念 　设， ，则称如下的分块矩阵 为与的Kronecker积（也称为直积或张量积）. 是一个块的分块矩阵，所以上式还可以简写为=. 例1.1 设, ，求和. 解 =， =. 这个例子表明，矩阵的Kronecker积与乘积一样不满足交换律，即 ≠ . 矩阵的Kronecker积的性质、定理及推论 由定义1.1，容易证明 性质2.1 . 性质2.2 设与为同阶矩阵，则（1）. 　　（2）. 性质2.3 （）=（）. 性质2.4 设=，=，=，=，则 （）（）=. 证　（）（）= = = ==. 推论2.1 （1） =. （2）=. 上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等. 推论2.2 若为阶矩阵，为阶矩阵，则 =. 利用性质2.1—2.4及推论2.1，可以得到以下常用到的性质. 设是阶矩阵，是阶矩阵. 性质2.5 若、都可逆，则也可逆，且. 证 根据性质2.4，，　， ∴. 推论2.3 若均为方阵，且均可逆（=1，2，…）,则 . 证 运用归纳法. 当=2时，由性质2.5知：等式成立. 设当=时，成立. 则当=+1时，根据性质2.5，有： = =， 从而，等式成立. 推论2.4 　. 证 由性质2.4、2.5知： =. 性质2.6 若、均为上（下）三角矩阵，则也是上（下）三角矩阵. 性质2.7 若、均为对角阵，则也是对角阵. 性质2.8 若、均为对称矩阵，则也是对称矩阵. 定义2.1 酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为酉矩阵，即满足： . 性质2.9 若、均为酉矩阵，则也为酉矩阵. 定义2.2 Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为Hermite矩 阵，即满足： . 性质2.10 若、均为Hermite矩阵，则也为Hermite矩阵. 性质2.11　设=，=，则 ，. 性质2.12 设=，=，则rank()=rankrank. 证 设rank=，rank=. 对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=. 对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=. 则由性质2.4知：= =. 由性质2.5知：、仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变. ∴rank()=rank（）== rankrank. 设是个线性无关的维列向量，是个 线性无关的维列向量，则个维列向量(=1,2,…,;=1,2,…, )线性无关.反之，若向量组（=1,2,…,;=1,2,…, )线性无关，则 和均线性无关. 证 令，=（）=，==，则有rank=， rank=. ∵=， ∴()= =. 又∵是×矩阵，∴是列满秩矩阵，即的列向量组是线性无关的. 反之，若列向量组是线性无关的，则是列满秩的，∴rank()==rankrank. 下证rank=，rank=. 假设rank＜，则rank 必＞，矛盾.∴有rank=. 同理，得：rank=.即、为列满秩的矩阵. ∴和是线性无关的. 性质2.13 设为阶矩阵，为阶矩阵，则有相似于. 三、矩阵的Kronecker积的特征值 考虑由变量、组成的复系数多项式和阶矩阵 其中，为阶矩阵，为阶矩阵. 例3.1 设,把写成：=,于是， . 特别地，若=,则有. 定理3.1 设是阶矩阵的特征值，为的对应 于的特征向量；是阶矩阵的特征值，是的对应于的特征向量，则个数 2,…,为的特征值，是对应于的特征向量. 证 由知：. ∴== =