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概率统计试题分类精选
一.列举类
1. (09安徽卷理)某地有四人先后感染了甲型流感,其中只有到过疫区.肯定是受感染的.对于,因为难以断定他是受还是受感染的,于是假定他受和受感染的概率都是.同样也假定受和感染的概率都是.在这种假定之下,中直接受感染的人数就是一个随机变量.写出的分布列(不要求写出计算过程),并求的均值(即数学期望).
本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值
解:随机变量X的分布列是
X 1 2 3 P X的均值为
附:X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A—B—C—D A—B—C
└D A—B—C
└D A—B—D
└C A—C—D
└B 在情形①和②之下,A直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A直接感染了两个人;在情形⑥之下,A直接感染了三个人。
二.古典概型与分布列类
2.(09福建卷理)从集合的所有非空子集中,等可能地取出一个.
(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率;
(2)记所取出的非空子集的元素个数为,求的分布列和数学期望E
解:(1)记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A
基本事件总数n==31
事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}
事件A包含的基本事件数m=3,所以
(II)依题意,的所有可能取值为1,2,3,4,5
又, ,
,
故的分布列为:
1 2 3 4 5 P 从而E+2+3+4+5
3.09浙江卷理在这个自然数中,任取个数.
(I)求这个数中恰有个是偶数的概率;
(II)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为,则有两组相邻的数和,此时的值是).求随机变量的分布列及其数学期望.
解:(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则;
(II)随机变量的取值为的分布列为
所以的数学期望为
四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.
解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,
则.
所以,的分布列是
1 3
5.(08浙江卷)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是。
(Ⅰ)若袋中共有10个球,(i)求白球的个数;(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。
(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:(i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为,则,得到.故白球有5个.
(ii)随机变量的取值为0,1,2,3,分布列是
0 1 2 3 的数学期望.
(Ⅱ)证明:设袋中有个球,其中个黑球,由题意得,所以,,故.记“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B,则
.所以白球的个数比黑球多,白球个数多于,红球的个数少于.故袋中红球个数最少.
三.考查独立互斥事件概率为主类
6.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
0 2 3 4 5 p 0.03 p 1 p 2 p 3 p 4 (Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求随机变量的数学期望E;
(Ⅲ)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.根据分布列知: =0时=
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