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1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) _____________. (2) 已知,则_____________. (3) 设方程确定为的函数,则_____________. (4) 设其中则_____________. (5) 设随机变量的概率密度为 以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数,则 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 曲线的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数,而级数收敛,则级数 ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则 ( ) (A) (B) (C) (D) 与的关系由而定 (4) 设,则 ( ) (A) 事件和互不相容 (B) 事件和相互对立 (C) 事件和互不独立 (D) 事件和相互独立 (5) 设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记 则服从自由度为的分布的随机变量是 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分) 计算二重积分其中. 四、(本题满分5分) 设函数满足条件求广义积分. 五、(本题满分5分) 已知,求. 六、(本题满分5分) 设函数可导,且,求. 七、(本题满分8分) 已知曲线与曲线在点处有公共切线,求: (1) 常数及切点； (2) 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 八、(本题满分6分) 假设在上连续,在内存在且大于零,记 , 证明在内单调增加. 九、(本题满分11分) 设线性方程组 (1) 证明:若两两不相等,则此线性方程组无解； (2) 设,且已知是该方程组的两个解,其中 写出此方程组的通解. 十、(本题满分8分) 设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件. 十一、(本题满分8分) 假设随机变量相互独立,且同分布 , 求行列式的概率分布. 十二、(本题满分8分) 假设由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润(单位:元)与销售零件的内径有如下关系: 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大? 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知 原式 (2)【答案】 【解析】根据导数的定义,有. 所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于 所以 原式. (3)【答案】 【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数. 方程两边对求导,得 . 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：. (4)【答案】 【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式, 且 所以,本题对分块后可得. (5)【答案】 【解析】已知随机变量的概率密度,所以概率,求得二项分布的概率参数后,故. 由二项分布的概率计算公式,所求概率为. 【相关知识点】二项分布的概率计算公式： 若,则, , 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的问题. 由于 , 故为该曲线的一条水平渐近线. 又 . 故为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条. 故