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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） C题 输油管的布置 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的距离（单位：分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若管线铺设费用均为每千米7.2万元。 管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20 请为设计院给出管线布置方案。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案。 (1) 如图1，设P的坐标为(x, y)≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为 图1只需考虑的情形。对上述二元费用函数求值可得（不妨假设） (a) 当 时，， ；(b) 当时，，； (c) 当时，，。 对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令。 本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为（参见图2）。 图2一般情况下，连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取上述(1)(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型成为 当 时，取得最小值 。 若在建立正确的模型后，用优化软件数值求解也是可取的。(5.4462,1.8556)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。(5.4593,1.8481)，Q点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。280.1771万元和283.5373万元之间。 (3) 考虑各部分管道费率不等的情况。 分别用记AP、PQ、PH、BQ段管道的费率，并设P和Q点的坐标分别为(x, y)、(c,z) (如图3所示)，则总费用的表达式为 图3(6.7310,0.1409)，Q点坐标为 (15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。(6.7424,0.1327)，Q点坐标为 (15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。249.4422万元和252.8104万元之间。 注：评阅时，(2)、(3)两小题得到最优解的解析表达式比仅有数值结果为好。 输油管线的优化布置 摘 要: 铁路一侧建两家炼油厂, 合建输油管线而达到费用最省的设计模式, 具有一定的普遍性. 利用多元函数极值模型, 从管线长度和角度两方面进行分析: 对问题一: 考虑共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形分为: 1. 所有管线费用相同; 2. 共用管线与非共用管线费用不同, 但非共用管线费用相同; 3. 共用管线与非公用管线费用不同，两条非公用管线的费用也不同. 对上述三种情况从管线长度和角度进行分析得到了较好的结果: 情况1, , 情况2, , , 角度上的分析不仅使这种情况有统一的模型, 并且清晰的量化了管线的费用系数对角度的影响. 也更加直观的理解是否需要建立共用管线的条件和运输管线交点的位置情况. 对问题二: 首先比较了三家工程咨询公司的资质和估算值, 选择具有甲级资质的公司一(估算值21万元/千米), 本问题是一个三元函数极值问题, 用求解得时, 有最省费用为万元. 对问题三: 与问题二相似, 选择具有甲级资质的公司一, 利用三元函数极值的方法, 结合求解得 时, 同时有最省费用为万元. 关键词: 多元函数; 极值; 优化 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂, 同时在铁路线上增建一个车站,用来运送成品油. 由于这种模式具有一定的普遍性