浅谈多元函数连续及可微转载.docVIP

浅析多元函数的连续及可微 摘要当二元函数的两个偏导数都连续时，首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微关键词：可微; 偏导数; 连续 2 多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... ............1 2.1 多元函数的连续性.................................................1 2.2 多元函数的偏导数...................................................3 2.3 多元函数的可微性..................................................4 2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系....................... 7 2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系............................7 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系......................... 8 2.4.3 二元函数的连续性与可微性间的关系.............................10 3 小结.................................... .............................11 参考文献................................................................12 致谢辞..................................................................13 1 绪论 在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数在极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微连续极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过. 对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数在点(,)可微，则函数在点（，） 连续，偏导存在；若二元函数的两个偏导数（x,y）与(x,y)在点（，）连续，则函数在（，）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续可微(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析. 大家都知道，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨. 2多元函数的连续、偏导数及可微性 2.1 多元函数的连续性 一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数来说，即使它在某点既存在关于x的偏导数，又存在关于y的偏导数，也未必在连续.甚至，即使在的某邻域存在偏导数（或），而且（或）在点连续，也不能保证在连续.如函数 关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理. 定理1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为y的一元函数在点y=连续，在内有界，则在点连续. 证明 任取 ，则 （1） 由于在存在，故对于取定的，作为x的一元函数在以和为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange中值定理，存在，使 = 将它代入（1）式得 （2） 由于 ，故有界，因而当时，有 又，据定理的条件知，在连续，故当时，又有 所以，由（2）知，有 =0 这说明在连续. 同理可证如下的定理 定理2 设函数在点的某邻域有定义，在内 有界，作为x的一元函数在点连续，则在点连续. 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去. 定理 3[5] 设函数在点的某邻域内有定义， 在有界作为 的n-1元函数在点连续，则 在 点连续. 证明 任取，则 = 由于在内存在，故对于固定的\ 作为的一元函数在以和 为端点的闭区间上可导，从而据一元微分学中的Lagrange中值定理，存在，使 - = 由于 故 有界 因而，当时， .