二次型几个应用.docVIP

二次型的几个应用 Some applications of quadratic form 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 学校 二○  摘 要 , 并对二次型的理论进行了推广, 讨论了二次型的应用. 关键词: 二次型; 正定二次型; 正交矩阵; 不等式; 特征方程; 极值; 因式分解 Abstract In this paper, on the basis of the nature of the quadratic form, we describe the property of positive semi-definite matrix quadratic and promote the theory of quadratic and then discuss the application of it. Keywords: quadratic form；ositive semi-definite quadratic；rthogonal matrix；inequality；haracteristic equation；rincipal minor；actorization .  目 录 摘 要 I ABSTRACT II 0 引言 1 1 二次型及其有关定义 1 1.1 定义 1 1.2 定理及其证明 2 2.二次型的应用 3 2.1 一般的元二次式的最值的判定与求法 3 2.2 元二次型的特征方程的求法 7 2.3 应用举例 8 2.4 利用半正定二次型的性质证明不等式 9 2.5 二次型在因式分解中的应用 13 参考文献 16 0 引言 在数学中, 二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支及物理, 力学, 工程技术中也常常用到. 二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而下面将利用二次型的性质来求函数的最值. 并给出了半正定矩阵的性质及其证明, 最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明. 关于二次型的一般理论, 可参看文献[1-3，5-6], 一些专题研究可参看文献[7-9]. 1 二次型及其有关定义 在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于的一般理论.是一个数域, , 个文字的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次型, 简称二次型. 当为实数时, 称为实二次型. 当为复数时, 称为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即 称为标准型. 在《高等代数》的教材中, 有以下关于的结果1.1 定义 定义1.1 二次型可唯一的表示成 其中, , 为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称的秩为二次型的秩. 定义1.2 设是一个数域, , 两组文字;的关系式 称为由到的一个线性替换. 用矩阵形式可写为, 其中, 当时称线性替换是非退化的(或可逆的, 或满秩的). 定义1.3 设是是数域上的矩阵, 如果存在数域上的可逆矩阵. 使, 则称与合同. 定义1.4 设是元实二次型. 如果对中所有的都有, 就称是正定的, 如果中所有的都有, 就称是负定的, 如果对中所有的都有, 就称是半正定的, 如果对中所有的都有就称是半负定的. 1.2 定理及其证明 定理1.1 元实二次型是实对称矩阵, 可以经过变量的正交变换为正交阵), 化为, 这里 是矩阵的全部特征值. 定理1.2 设元实二次型, 则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值. 定理1.3 设为阶正定矩阵, 与是实向量, 为实数, 则实函数当时, 取得最小值. 证明 , 因正定, 所以存在(对称); 而 , , 因此 = = = 其中, 因正定, 故当且仅当时, 取最小值0, 从而当且仅当, 取得最小值. 2.二次型的应用 2.1 一般的元二次式的最值的判定与求法 一般的元二次多项式的形式为 (2.1.1) 而（2.1.1） (2.1.2) 存在最值(上式中), 故只需要对(2.1.2)进行讨论. 定理2.1 实元多项式(2.1.2), 它的矩阵为, 秩为, 对(2.1.2)作非退化的线性替换, , 其中 , 那么, (i)