数学一考研试题和解析.docVIP

2006年数学一试题分析、详解和评注 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） （2） 微分方程的通解是 （3）设是锥面的下侧，则 （4）点到平面的距离 （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 （6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . 　　　　　(D) 　 . 　　 [ ] （8）设为连续函数，则等于 （Ａ）. （B）. (C)　.　　(D) . [ ] （9）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . 　　　　　　　（B）收敛. (C) 收敛. 　　　　　 (D) 收敛. [ ] （10）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 　若，则. (D) 　若，则. 　　　　　　　　　 [ ] （11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. [ ] （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）. （Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　　］ （13）设为随机事件，且，则必有 (B) (C)　 　 (D) [ ] （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 　　　　　　 则必有 　　　　　(B) (C) 　　　　　　　 (D) 　　　　　 [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 设区域， 计算二重积分 （16）（本题满分12分） 设数列满足 （Ⅰ）证明存在，并求该极限； （Ⅱ）计算. （17）（本题满分12分） 将函数展成的幂级数. （18）（本题满分12分） 设函数在内具有二阶导数，且满足等式 . （I）验证； （II）若，求函数的表达式. （19）（本题满分12分） 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.　证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有 . （20）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩； （Ⅱ）求的值及方程组的通解. （21）（本题满分9分） 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)　求的特征值与特征向量； (Ⅱ)　求正交矩阵和对角矩阵,使得. （22）（本题满分9分） 设随机变量的概率密度为 ， 令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)　求的概率密度 (Ⅱ)　. （23）（本题满分9分） 设总体的概率密度为 其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计. 1.【分析】 本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 . 【评注】本题为求未定式极限的基本题型，应充分利用等价无穷小代换来简化计算. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.29【例1.31】 2. 【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 ， 两边积分得　，整理得 　　　　　　　.（） 【评注】 本题属基本题型. 完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139 3. 【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：，取上侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】 设：，取上侧，则 　　　　 　. 而　＝， 　　. 所以　. 【评注】本题属基本题型，不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行