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第一章 随机变量和高斯马尔柯夫过程 在这一章，我们将介绍概率论、随机变量和高斯过程的基本概念，作为以后讨论问题的基础。 1.1 概率论的基本概念 1.1.1 基本概念 首先，讨论一些实验可能结果的数量。作为例子，如赌博时掷骰子(dice)所得到的数，投掷硬币时的正反面等，可发现有三个基本概念。 采样空间（sample space）：一次（或一个）试验可能结果的全部集合（sets）。作为掷骰子的。为了方便，可用或其它字母表示中的特定的数。 事件（an event）：采样空间中任一个确定的子集或任一个试验结果。如掷骰子时得到的数4，或掷硬币得到的正面。 概率（probability）：用表示，是有利于某种事件可能发生的可能性的一种统计表示。 存在以下三条公理（axioms）(又称概率测量公理) （1） （2） （3）对于互不相交事件（mutually disjoint events）的一个可数集，即（表示为空集），对于所有、，有 从以上公理，可得如下一些主要性质： （1） （2） （3），是的补集（complement），有如下关系： ， ：表示事件和的积，两个事件同时发生时某一事件才发生； ：表示事件和的和，至少有一个事件发生时某一事件才发生。 （4） 因为事件和事件是互不相交的事件，它们的并集是。如果写事件为两个互相排斥（exclusive）事件的和，即 考虑性质（4），我们有 结合上两式，得到第五条性质： （5） 有关事件及其相互关系，在集合论中也涉及到，可以做如下比较。 表1-1 事件及关系在概率论与集合论中的比较 符 号 概 率 论 集 合 论 样本空间（必然事件） 空间（全集），完备群 不可能事件 空集 样本点（试验的可能结果） 中的元素 事件 中的子集 事件的对立事件 集合的余集 事件包含事件 集合包含集合 事件与事件相等 集合与集合相等 事件与事件的和 集合与集合的并集 事件与事件的积 集合与集合的交集 事件与事件的差 集合与集合的差集 事件与事件互不相容 集合与集合的交集为空集 图1-1 事件关系图 1.1.2 条件概率 设、是两个事件，如果在事件已发生的条件下，去计算事件的概率，这种概率叫做事件在事件已经发生的条件下的条件概率，记为 （1-1） 式中，，是、的联合概率，称其为乘法概率，或写为 应指出： a.（1-1）式中，否则（1-1）式无意义； b.对于给定一个，变量满足概率测量公理。 【例1-1】一试验可能结果有个事件，构成样本空间，其中有利于的有个事件，有利于的有事件，有利于的有个事件，明显地和，由概率定义知 ，，，， 所以 同理推得 （1-2） 上式的直观意义是：事件同时发生的概率，等于先出现、在出现的条件下出现、在出现的条件下出现、(各自的概率的乘积。 【例1-2】在盒中装有四个外形相同的球，分别标为1、2、3、4，每次从盒中任意取出一球，再放回，抽取两次，有 设“第一次取出球的标号为2”，“取出两球的标号之和为4”，显然有，求 解： 事件发生（即第一次取出球的标号为2）结果为： 所以 【例1-3】一个家庭有两个小孩，已知其中有一个女孩，而另一个小孩是男孩的概率有多大？（假定生男、生女的可能性是一样的） 令“其中有一个女孩”，“其中有一个男孩”，求 {（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）} {（男，女），（女，男），（女，女）} {（男，男），（男，女），（女，男）} {（男，女），（女，男）} 显然 ， 1.1.3 独立性 我们说事件是相互独立的，当且仅当（if and only if） （1-3） 对于间隔的选择，，在间隔的集合中，没有两个是相同的，即，其中是任意的且满足。 注意上面提到的独立性的含义和不相交事件的区别。 对于两个独立事件来说，有 (1-4) 当时 这个结论可直接得出，因为和是相互独立的事件，所以没有必要提及。考虑三个事件、、，每一对相互独立，有 但不能说、、是相互独立的。 事件的相互独立性，给概率计算带来极大的方便。 1.1.4 全概