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上海市宝山区2013届高三一模数学试题 参考答案 . 1.在复数范围内，方程的根是 ． 2.已知，则二阶矩阵X= ． 3.设，且，则点D的坐标是__________； 4.已知复数()的模为,则的最大值是 . 5.不等式的解集是 _________________. 6.执行右边的程序框图，若，则输出的 ．6 7.将函数的图像按向量（）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 . 8.设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 _．0 9．二项式展开式中的常数项是 (用具体数值表示) 10.在中，若的面积是 ． 11.若数列的通项公式是，则 =_______. 12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则R= ． 13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________． 解答参考：①；②； ③；④ 14.设是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离. 若点A(-1,1),B在上，则的最小值为 ． 二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C） （A）（B）（C）（D）ABC中，有命题:①；②；③若，则△ABC是等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是…………………………………………………………（A） (A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④ 17.函数是奇函数的充要条件是…………………( A ) (A) (B) (C) (D) 18.已知则下列函数的图像错误的是……………………（ D ） (A)的图像 (B)的图像 (C)的图像 (D)的图像 三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分) 如图，直三棱柱的体积为8，且，∠，E是的中点，是的中点.求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 解：由得，………………………3分 取BC的中点F，联结AF，EF，则， 所以即是异面直线与所成的角，记为． ………………………5分 ，，，………………………8分 ，………………………11分 因而………………………………………………12分 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数＞0，＞0，＜的图像与轴的交点为（0，1），它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 （1）求的解析式及的值； （2）若锐角满足，求 的值. 解：（1）由题意可得即，………………………3分 由＜, ………………………………………………………………………5分 所以 又 是最小的正数，……………………………………………………7分 （2） ………………………………10分 ．…………………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，. （1）当时，求的定义域； （2）若恒成立，求的取值范围． 解：（1）由………………………………………………3分 解得的定义域为．………………………6分 （2）由得，即……………………9分 令，则，………………………………………………12分 当时，恒成立．………………………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点． (1)若，求线段中点M的轨迹方程； (2) 若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积； (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列． 解：(1) 设，，焦点， 则由题意，即……………………………………2分 所求的轨迹方程为，即…………………………4分 (2) ，，直线，……………………5分 由得，， ……………………………………………7分 ， ……………………………………………8分 ……………………………………………9分 (3)显然直线的斜率都存在，分别设为． 点