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第13-16课时 课题:三角问题的题型与方法
一.复习目标:1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等.
2.熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等.并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.
3.掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.
4.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质.
5.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
二.考试要求:
1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形的计算问题。
三.教学过程:
(Ⅰ)基础知识详析
(一)三角变换公式的使用特点
1.同角三角函数关系式
(1)理解公式中“同角”的含义.
(2)明确公式成立的条件。
例如,tanα+1=secα,当且仅当≠k
(3)掌握公式的变形.特别需要指出的是 sinα=tanα·cosα,
cosα=cotα·sinα.它使得“弦”可以用“切”来表示.
(4)使用这组公式进行变形时,经常把“切”、“割”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换非常重要的方法.
(5)几个常用关系式
①sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα;(三式之间可以互相表示.)
同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式.
②. ③当时,有.
2.诱导公式
(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角.
(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定.
(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα;cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z).
⑷熟记关系式;.
3.两角和与差的三角函数
(1)公式不但要会正用,还要会逆用. (2)公式的变形应用要熟悉.
熟记:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ),它体现了两个角正切的和与积的关系.
(3)角的变换要能灵活应用,如α=(α+β)-β,β=α-(α-β),2α=(α+β)+(α-β)等.
4.倍角公式,半角公式
(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时,公式的选择要准确.
如已知sinα,cosα,tanα求cos2α时,应分别选择cos2α=1
(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握.要明确,降幂法是三角变换中非常重要的变形方法.
对sin3α,cos3α的公式应记住.
(4)使用正弦、余弦的半角公式时,要注意公式中符号的确定方法.正
在使用无理表达式时,须要确定符号;在使用两个有理表达式时,无须确定符号,这是与选用无理表达式最大的区别,因此在化简、证明题中,
5.和差化积、积化和差公式,这两组公式现在不要求记忆,但要会使用.
(1)要明确,这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式.
(3)对下列关系式要熟记:
6.三角变换:
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换.
三角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式,和差化积和积化和差公式,万能公式为基础.
三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式,然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决.
7.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点.
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以
sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.
r为三角形内切圆半径,p为周长之半.
在非直角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.
(4)在△ABC中,熟记并会证明:
∠A,∠B,∠C成等
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