五微分学SECTION.docVIP

第五章 微 分 学 微积分学的研究方法是极限方法，研究的对象是函数（特别是初等函数），微积分学的主要内容是微分法、积分法和它们的应用.本章主要介绍极限方法以及微分法和它的应用（隐函数理论、函数展开为幂级数、函数的极值和作图），还介绍了函数连续性的概念和性质，以及数项级数、二重级数、函数项级数和无穷乘积的收敛概念和判别法.同时考虑到函数的一致连续性、函数项级数的一致收敛性以及函数的可微性的概念在理论和实际上的重要性，本章着重介绍了这些概念，并举例说明这些概念的实质.另外收集了一些常见的初等函数的幂级数展开式，列表备查. §1 序列与函数的极限 序列的极限 1．基本概念 [有穷极限] 假定对于任意小的ε0,都存在正整数N=N(ε),使得对于一切的nN，不等式 |xn-a|ε (a为有限数) 成立，就称序列x1,x2,(简记为{xn})以a为极限(或称序列收敛于a）,记作 否则序列称为发散的. [无穷极限] 假定对于任意大的E0，都存在正整数N=N(?)，使得对于一切的nN,不等式 |xn|E 成立，就称序列x1,x2,的极限是∞（或称序列发散于∞），记作 [部分极限(聚点)] 在已知序列x1,x2,的元素中，保持原来次序自左至右任意选取无穷多个元素，如 这种序列称为已知序列的子序列.如果 就称数ξ（或符号∞）为已知序列{xn}的部分极限(或聚点). 任何序列{xn},不论是有界的或无界的，都有部分极限存在. [上极限与下极限] 序列{xn}的最大的部分极限（有穷或无穷）称为序列{xn}的上极限，记作 而它的最小的部分极限（有穷或无穷）称为序列{xn}的下极限，记作 所以，一个序列{xn}如果有两个子序列不收敛于同一极限，这个序列{xn}就不收敛.如果 ，即序列{xn}收敛于a，那末{xn}的任一子序列{}都收敛于a. 2．序列极限存在的判别法 [柯西准则] 序列{xn}的极限存在的充分必要条件是：对任意给定的ε0，都存在正整数N=N(ε)，使得当nN时，不等式 ||ε 对一切正整数p0都成立. [上下极限相等] 序列{xn}的极限（有穷或无穷）存在的充分必要条件是： = [单调有界] 单调有界序列必有极限. 若{xn}为递增序列，且xn≤M(n=1,2,…)，则存在而且不超过M. 若{xn}为递减序列，且xn≥M(n=1,2,…)，则存在而且不小于M. [有有界变差]* 有有界变差序列(即存在正数c，使得||+||+ |c,n=2,3,必有极限. [序列对比] 若序列{xn}满足条件yn≤xn≤zn，且==c，则 =c [施笃兹定理] 对序列,若(i)n≥n0(n0为某一自然数)时，yn+1yn，(ii) =+∞,(iii) =l (有限数或)，则 ==l [加权平均序列] 设wnk≥0(k =1,2,n;n=1,2),=1,对固定的k, wnk=0.?如果xn=a,则 =a 3．序列极限的基本公式 设xn，yn存在，则 (xnyn)= xnyn * 对于函数有有界变差是这样定义的：假定f (x)在[a,b]上有限，在[a,b]上作分点a=x0x1… xn-1xn=b,作和,V的上确界叫做f (x)在[a,b]上的全变差，记为. 如果+,那么称f (x) 在[a,b]上有有界变差. (xn·yn)= xn·yn = (当yn≠0时) xnyn （当yn时） 4．常用序列的极限 ===e= =e (1+1+)=e n(-1)= (a0) =1 (a0) =1 =∞ [(1+)-]=γ 式中γ=为欧拉常数. 函数的极限 基本概念 [双边极限(函数在某一点的极限)] 若对任意小的ε0，都存在一个正数δ=δ(ε)，使得对一切满足不等式0|x-a|≤≤的值x,|A-f(x)|ε都成立，则称数A为函数f(x)在点a的极限，记作 =A [单边极限(左极限与右极限)] 若对任意小的ε0，都存在一个正数，使得对一切满足不等式的值x，都成立，则称数A′为函数f(x)在点a的左极限，记作 若对任意小的，都存在一个正数，使得对一切满足不等式的值x,都成立，则称数A″为函数f(x)在点a的右极限，记作 f(x)=f(a+0)=A″ [无穷极限] 若对任意大的正数M,都存在一个正数，使得对一切满足不等式的值x,恒有 |f(x)|M 则称函数f(x)在点a的极限是∞，记作 = [局部极限] 若对某序列xn→a有等式 =B 则称数B(或符号∞)为函数f(x)在点a的局部极限(有穷的或无穷的). [上极限与下