一函数与极限(疑题解答).docVIP

第一章 函数与极限 一、基本要求 (1) 理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值，会求分段函数的定义域、函数值。并会作出简单分段函数的图形. (2) 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的特性. (3) 了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图形)，会求单调函数的反函数. (4) 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程. (5) 掌握基本初等函数的简单性质及其图形. (6) 了解初等函数的概念. (7) 会建立简单实际问题的函数关系式. (8) 理解极限的概念(对极限的、、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出，求、或没有过高要求)，能根据极限的概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充要条. (9) 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则. (10) 理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系，会进行无穷小阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，掌握利用等价无穷小代换求极限. (11) 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，熟练掌握用两个重要极限求极限的方法. (12) 理解函数在一点连续和间断的概念，掌握判断函数(包括分段函数)在一点的连续性，理解函数在一点的连续性和极限存在的关系. (13) 会求函数的间断点，并会确定间断点的类型. (14) 理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用连续性求极限. (15) 掌握闭区间上连续函数的性质(最值定理、零点定理、介质定理)，会利用这些性质推证一些简单命题. 二、重点与难点 重点：函数的概念，基本初等函数和初等函数的概念，复合函数的概念；数列极限和函数极限的概念，极限运算法则和极限存在准则，两个重要极限；无穷小阶的比较及等价无穷小在求极限中的应用；连续函数的概念和初等函数的连续性，间断点的概念和间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质. 难点：复合函数，极限概念，极限存在的准则，连续函数的概念，闭区间上连续函数性质的应用. 三、释疑解难 问题1.1 函数和是相同的函数吗？ 分析：不同. 原因是它们的定义域不同，的定义域，的定义域. 注：判断两个函数是否相同，应考虑它们的定义域及对应法则是否相同，这是函数定义的两个要素. 问题1.2 与是相同的函数吗？ 分析：相同. 虽然与在同一坐标系中确实表示两条不同的曲线，但不同的曲线并不一定表示不同的函数. 曲线作为函数的几何表示，是要涉及坐标系的，而函数概念本身并不指定要与什么坐标相联系. 判断两个函数是否相同的标准，只是函数定义的两个要素，而与变量用什么字母表示无关，与坐标系的选取方式无关. 因为函数与，其自变量有相同的定义域，因变量与自变量有相同的对应法则，所以它们是相同的函数. 由此可知，的反函数既可以用表示，也可以用表示. 问题1.3 如何求复合函数的定义域？并求函数的定义域. 分析：考虑复合函数定义域时应由最外层的复合关系算起，逐层向内推算，最后确定自变量的取值范围. 若由里层的复合关系算起，必然会顾此失彼. 函数是一个复合函数，其复合关系为，，. 由于的定义域为，从而推知，即，最后归结为解不等式，故所求定义域为. 问题1.4 设，，如何求复合函数的表达式？ 分析：函数是一个复合函数. 由于，，当是，，但的函数值可能取小于1，也有可能取大于等于1，因此不能笼统的用表示. 当时，，但的函数值可能取小于1，也有可能取大于等于1，故也不能笼统的用来表示. 由的定义可知: 由此可知，的函数表达式应为： . 问题1.5 数列极限的定义是否可叙述为“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”? 分析：可以. 本题涉及数列极限的实质问题. 由数列极限定义可知，的充分必要条件是：对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有成立. 这里是任意给定的要多小就有多小的正数，用以描述与之间的距离随着的增大越来越小，在极限定义中，只要求且充分小即可，因此，可限定. 其次，由于中仍可充分小，它同样描述了与之间的距离随着的增大要多小就有多小这一事实，因此，题中的叙述也可看做是数列以为极限的定义，即为充分必要条件. 问题1.6：函数极限与数列极限有什么关系？ 分析：如果对于任何以为极限的数列，有，那么 . 反之，如果，那么对任何以为极限的数列，都有 . 由此命题可知，如果，但，则不存在. 此命题是判断极限不存在的一个有效工具. 问题1.7：讨论函数的极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 分析：一般地说，讨论函数在点的极限时，应先看一看左、右两侧极限的情况如果当时在点的两侧变化一