复变函数四、五学习要点导学.docVIP

第四、五章　复级数的学习要点 复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等． 根据所研究解析函数所涉及的问题的需要，在这两章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数（也称泰勒级数Taylor series），通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数（Laurent series），通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数． 在这两章，我们主要介绍以下内容： 首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论（注意：这些内容大部分与数学分析中的相关内容一致，因此，在学习时，应采用回顾、对照学习法，这样既能获取学习复变函数所需的级数知识，还能对数学分析的相关知识进行必要的复习和巩固，拓展知识的范围，丰富知识应用的手段和技巧）． 其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）． 第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双边幂级数）的概念及其性质，并建立圆环形区域（，）（包括挖去奇点的去心邻域）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类． 学习要点及基本要求 1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛、条件收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件（例如，通项的极限为零）和充要条件（例如，级数收敛的柯西收敛准则；复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系），特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（例如：利用复级数的和求实级数的和的问题等，如利用，其中，，求实级数 和， 的和）． 2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质，比如：收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；两指标级数二次求和的可交换性，即在 ，以及， 都是同号级数或至少有一个绝对收敛的条件下，有 ， 成立． 注意：上面所列的性质中，乘积性和二次求和的可交换性也是今后求有些复杂解析函数的幂级数展式或洛朗展式的完整形式时经常用的技巧，而这样的技巧往往是传统数学分析教材中忽略的． 3．在区域内内闭一致收敛对任意，存在的某邻域，使得在内一致收敛（称为内闭一致收敛的局部判别法）； 注意：在数学分析中，我们也可建立类似的平行结论． ● 设解析函数项级数在区域内收敛，则在区域内内闭一致收敛在区域内内闭一致收敛对任意整数，在区域内内闭一致收敛； ● 设为有界区域，，每一项函数在内解析，在上连续，若在上一致收敛，则在上一致收敛，进而在内一致收敛． 注意：上面的两个结论是解析函数项级数特有的，对数学分析中的可微函数项级数，上面的两个结论一般不成立． 4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法： 记，，是的不解析点中距最近的点，则幂级数的收敛半径有下面两个常用的计算公式： 利用系数计算的公式：．（常规公式，也称柯西—阿达玛公式） 利用和函数的计算公式：．（技巧性公式，前提是要知道和函数） 5．熟练掌握同类幂级数的运算性质．比如：设有两个同类幂级数 ， 其收敛半径分别为，，不妨设，则在它们收敛的公共圆域内 ●　加、减性：　． ●　乘积性：　　 ． 注意： （1）在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性． （2）的级数可借用因子的取值特点进行补项得： ； 对形如的级数可借用因子的取值特点进行补项得： ． ● 对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得： ； 对形如的级数可借用正弦值的取值特点进行补项得： ． 6．熟练掌握幂级数和函数的如下性质： 设的收敛半径，则在其收敛圆内 ●　逐项积分性：． ●　逐项微分性：． ●　收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即 ，（逐项微分），（逐项积分） 这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周． 注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得 ． ● 以上第5和6两个要点是求解析函数幂级数展式的间接法的基础 7．掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，