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2010年高考数学易错专题点睛四 数列
【原题】已知数列的前n项之和为① ②
求数列的通项公式。
【原题】等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和
【错误分析】:本题可以根据条件直接列式求解,但是若能合理应用性质,选择不同的公式,则会得到不同的解法.
【答案】210
【解析】法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得
解法二 由知,
要求S3m只需求m[a1+],将②-①得ma1+ d=70,∴S3m=210
解法三 由等差数列{an}的前n项和公式知,Sn是关于n的二次函数,即Sn=An2+Bn(A、B是常数) 将Sm=30,S2m=100代入,得,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
解法四
S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…+am)+m·2md
=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210
解法五根据等差数列性质知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,
从而有2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)∴S3m=3(S2m-Sm)=210
解法六 ∵Sn=na1+d,∴=a1+d∴点(n, )是直线y=+a1上的一串点,由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线,易得S3m=3(S2m-Sm)=210
解法七 令m=1得S1=30,S2=100,得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
∴a3=70+(70-30)=110∴S3=a1+a2+a3=210
【易错点点睛】将等差数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列,将条件“等差数列”换成“等比数列”,使用类比思想,考虑这七种方法是否都可类比.
【原题】等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求
【错误分析】:因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
【答案】
【解析】
【易错点点睛】
【原题】已知数列的前n项之和Sn=aqn(为非零常数),则为( )。
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列,也不是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列
【错误分析】:
(常数)为等比数列,即B。
【答案】选C
【解析】当n=1时,a1=S1=aq;当n1时,
(常数)但既不是等差数列,也不是等比数列,选C。
【易错点点睛】忽略了中隐含条件n>1.
【原题】已知一个等差数列的通项公式an=25-5n,求数列的前n项和
【错误分析】:由an0得n5 前5项为非负,从第6项起为负,
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时,=
Sn=
【答案】
【解析】由an0得n5前5项为非负,当n5
当n6时,
=
综上所述
【易错点点睛】一、把n5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
【原题】已知等比数列的前n项和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于
【错误分析】:S30= S10·q 2. q 2=7,q=, S40= S30·q =
【答案】200
【解析】由题意:得,S40=
【易错点点睛】是是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=
A. B. C. D.
【错误分析】:
【答案】A
【解析】设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去),所以数列的前项和
【易错点点睛】该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等,基础性较强,综合程度较小,要求具有较熟练的运算能力
【原题】已知数列中,,,求
【错误分析】:
【答案】
【解析】在两边乘以得:
令,则,应用待定系数法得:
所以
【易错点点睛】已知数列的递推公式求其通项公式,应用到的方法非常多,关键是要分析清楚所给出的递推公式形式,然后选择合理的变形.
【原题】已知等比数列的首项为,公比满足.又已知,,成等差数列.(1)求数列的通项.(2)令,求证:对于任意,都有
【错误分析】:数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式;数学归纳法;有的还要用到条件不等式。
【答案】(1)(2)见解析
【解析】(1)∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
(2)证明:∵ ,
∴
.
【易错点点睛】转化思想是数学中的重要思想,把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想.本题中的第(2)问,采用裂项相消法,将式子进行转化后就可以抵消很多项,从而只剩下首末两项,进而由n的范围证出不等式.
【原题】已
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