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2010年高考数学易错专题点睛四 数列 【原题】已知数列的前n项之和为① ② 求数列的通项公式。 【原题】等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和 【错误分析】：本题可以根据条件直接列式求解，但是若能合理应用性质，选择不同的公式，则会得到不同的解法. 【答案】210 【解析】法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知， 要求S3m只需求m［a1+］,将②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210 解法三 由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数） 将Sm=30,S2m=100代入，得,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210 解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…+am)+m·2md =S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五根据等差数列性质知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列， 从而有2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210 解法六 ∵Sn=na1+d,∴=a1+d∴点(n, )是直线y=+a1上的一串点，由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70 ∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210 【易错点点睛】将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列，将条件“等差数列”换成“等比数列”，使用类比思想，考虑这七种方法是否都可类比. 【原题】等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求 【错误分析】：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27. 【答案】 【解析】 【易错点点睛】 【原题】已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。 A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列 【错误分析】： （常数）为等比数列，即B。 【答案】选C 【解析】当n＝1时，a1=S1＝aq;当n1时， （常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。 【易错点点睛】忽略了中隐含条件n＞1. 【原题】已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和 【错误分析】：由an0得n5 前5项为非负，从第6项起为负， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5) 当n6时，＝ Sn= 【答案】 【解析】由an0得n5前5项为非负，当n5 当n6时， ＝ 综上所述 【易错点点睛】一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和. 【原题】已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 【错误分析】：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q = 【答案】200 【解析】由题意：得，S40= 【易错点点睛】是是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和= A． B． C． D． 【错误分析】： 【答案】A 【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 【易错点点睛】该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力 【原题】已知数列中，,，求 【错误分析】： 【答案】 【解析】在两边乘以得： 令，则,应用待定系数法得： 所以 【易错点点睛】已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形式，然后选择合理的变形. 【原题】已知等比数列的首项为，公比满足．又已知，，成等差数列．（1）求数列的通项．（2）令，求证：对于任意，都有 【错误分析】：数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。 【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：∵ ， ∴ ． 【易错点点睛】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式． 【原题】已