数学分析、详解.docVIP

2006年数学三试题分析、详解和评注 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，，所以. 故 . 【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济类）P.30【例1.41】. （2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又， 故 . 【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例11】，【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.53【例2.18】（几乎一样）. （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ， 故 . 【评注】本题为基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第9讲第1节【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.162【例6.13】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.62【例6，例7】及练习. （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示. 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】. （5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 . 【分析】 利用的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，具有相同的概率密度 　　　　　　　　　　　　. 则　 . 【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图： 　　　　　　 　　　　　则　. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】 （6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， ， 所以 ，又因是的无偏估计量， 所以 . 【评注】本题利用了样本方差是总体的方差的无偏估计量，最好能熟记样本均值和方差的性质和运算. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第5讲【例1】和【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.487【例5.1】Ｐ.488【例5.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.247【例4】及练习. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . 　　　 　(D) 　 . 　　 [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时， ，故应选(Ａ). 【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解： 因为，所以单调增加，即，又， 则　，即. 定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】. （8）设函数在处连续，且，则 (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D) 存在 [ C ] 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. 【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第1节【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.46【例2.2】. （9）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . 　　　　　　　（B）收敛. (C) 收敛.